在数学中,代数几何与解析几何是两个关系密切的学科。代数几何研究代数簇,在复数域上,同时也能以复分析及微分几何的技术研究代数簇。让-皮埃尔·塞尔在1956年的同名论文中比较了这两种观点。在 SGA 第一册附录中,则以概形论的语言重新表述。
性质的比较
给定一个 上的局部有限型概形 ,可以考虑相应的复解析空间 。此对应 定义一个从局部有限型概形范畴到复解析空间范畴的函子。对任一 -模 ,同样可考虑相应的 -模 ,这也给出相应的函子。可以证明 是一个正合、忠实且保守的函子。
论证中用到的关键性质是: 是平坦的 -模。
拓扑性质比较
设 为一局部可构子集(即:局部闭集的有限并集),以下 的性质在 中成立,当且仅当在 中成立:
当 为有限型态射时,对于 及 本身,下述性质也是相通的:
概形性质比较
以下性质对 成立,当且仅当对 成立:
- 非空
- 离散
- 科恩-麦考利概形
- 正规
- 既约
- 维度等于
态射性质比较
设 为概形的态射, 为复解析空间的相应态射,则下述性质对 成立当且仅当对 成立:
- 平坦
- 非分歧
- 平展
- 平滑
- 正规
- 既约
- 分离
- 单射(拓扑意义)
- 同构
- 单射(范畴论意义)
- 开浸入
若再要求 是有限型态射,则可再加入下述性质:
- 满射(拓扑意义)
- 优势态射
- 闭浸入
- 浸入
- 真态射
- 有限态射
上同调比较
以下假设 是真态射,对任一个凝聚 -模 ,有自然同构:
当 时,遂有层上同调的比较定理:
此时 给出范畴的等价。
黎曼存在性定理
黎曼存在性定理则断言:若 是 -上的局部有限型概形,且 是复解析空间的有限平展覆盖,则存在 -概形 及平展态射 ,使得 。此外,函子 给出从【 的有限平展覆盖】到【 的有限平展覆盖】的范畴等价。
当 为连通时,此定理的一个直接推论是代数基本群与拓扑基本群的比较定理:
其中 ,而 表示代数基本群 对有限指数子群的完备化。
文献