中线定理

中线定理，又称阿波罗尼奥斯定理，是欧氏几何的定理，表述三角形两边和中线长度关系。它等价于平行四边形恒等式。

中线定理

对任意三角形$\triangle ABC$，设$I$是线段${\overline {BC}}$的中点，${\overline {AI}}$为中线，则有如下关系：

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {AI}}^{2}\,$

证明

用莱布尼茨标量函数约简，可以容易导出这性质：只需要在两个平方中引入$I$：

$|{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=\left|{\vec {AI}}+{\vec {IB}}\right|^{2}+\left|{\vec {AI}}+{\vec {IC}}\right|^{2}$

得出

$|{\vec {AB}}|^{2}+|{\vec {AC}}|^{2}=|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IB}}|^{2}+2{\vec {AI}}\cdot {\vec {IB}}+|{\vec {AI}}|^{2}+|{\vec {IC}}|^{2}+2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {IC}}$

$I$是$BC$的中点，因此${\overrightarrow {IB}}$和${\overrightarrow {IC}}$相反，可知式中两个标积抵消。又因${\overline {IC}}={\overline {IB}}$，得出

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {AI}}^{2}+2{\overline {IB}}^{2}\,$

另一个证法

这可能是阿波罗尼奥斯的证明方法，因为他不知道莱布尼茨函数。证明如下： 设$H$是从$A$到$BC$的垂足，则$\triangle BHA$和$\triangle AHC$是直角三角形。用勾股定理可得

${\overline {AB}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,$

${\overline {AC}}^{2}={\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,$

${\overline {AI}}^{2}={\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}\,$

所以

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {HC}}^{2}\,$

把$BH$和$HC$用$BI$和$IH$表达出来（记得$I$是$BC$的中点，因此$BI=IC$）。注意到虽然现在的情形假设$H$在线段$BI$上，但其 他情形也可以用这个方法。

${\overline {BH}}={\overline {BI}}-{\overline {IH}}\,$

${\overline {HC}}={\overline {IC}}+{\overline {IH}}={\overline {BI}}+{\overline {IH}}\,$

代入前式：

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=({\overline {BI}}-{\overline {IH}})^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+({\overline {BI}}+{\overline {IH}})^{2}\,$

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}={\overline {BI}}^{2}-2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}+{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {BI}}\cdot {\overline {IH}}+{\overline {IH}}^{2}\,$

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {IH}}^{2}+2{\overline {AH}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2({\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2})\,$

$\triangle IHA$是直角三角形(H为$\triangle ABC$于${\overline {BC}}$之垂足) ，因此

${\overline {IH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}={\overline {AI}}^{2}\,$

代入前式得出

${\overline {AB}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}=2{\overline {BI}}^{2}+2{\overline {AI}}^{2}\,$

中线的向量表达式

设$I$是线段$BC$的中点，则有${\vec {AB}}+{\vec {AC}}=2{\vec {AI}}$

中线的另一条定理

用标积表示$AB^{2}-AC^{2}=2{\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {IH}}$，其中$H$是$A$到线$BC$的垂足。

从上得到中线的另一条定理$\left|AB^{2}-AC^{2}\right|=2BC\times IH$。

实际上

$AB^{2}-AC^{2}=({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {AC}})\cdot ({\overrightarrow {AB}}-{\overrightarrow {AC}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot ({\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {CA}})=2{\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}$

${\overrightarrow {AI}}$投影在${\overrightarrow {BC}}$ 上是${\overrightarrow {HI}}$，因而有${\overrightarrow {AI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {HI}}\cdot {\overrightarrow {CB}}={\overrightarrow {BC}}\cdot {\overrightarrow {IH}}$.

这两个共线向量的标积可等于$BC\times IH\,$或其负数，因此取绝对值。

参见

• 闭凸集投影定理，中线定理是这定理的证明关键。
• 平行四边形恒等式