用户:Zhang Jun114514/沙盒

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导数的求导法则

由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。基本的求导法则如下：

• 求导的线性性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再取线性组合。

$(af+bg)'=af'+bg'\,$ （其中$a,b$为常数）

• 两个函数的乘积的导函数，等于其中一个的导函数乘以另一者，加上另一者的导函数与其的乘积

$(fg)'=f'g+fg'\,$

• 两个函数的商的导函数也是一个分式。
• 其中分子是分子函数的导函数乘以分母函数减去分母函数的导函数乘以分子函数后的差，而其分母是分母函数的平方。

$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ （在$g(x)\neq 0$处方有意义）

• 复合函数的求导法则：如果有复合函数 $f(x)=h[g(x)]$，那么

$f'(x)=h'[g(x)]\cdot g'(x).\,$

若要求某个函数在某一点的导数，可以先运用以上方法求出这个函数的导函数，再看导函数在这一点的值。

直角坐标系中的定义

设$P(x,y)$是平面直角坐标系$xOy$中的一个点，$\theta$是横轴正向${\vec {Ox}}$逆时针旋转到${\vec {OP}}$方向所形成的角，$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>0$是$P$到原点$O$的距离，则$\theta$的三个三角函数定义为：

正弦	余弦	正切
$\sin \theta ={\frac {y}{r}}$	$\cos \theta ={\frac {x}{r}}$	$\tan \theta ={\frac {y}{x}}$

这样可以对0到360度的角度定义三角函数。要注意的是以上的定义都只在定义式有意义的时候成立。比如说当$x=0$ 的时候，${\frac {y}{x}}$和${\frac {r}{x}}$都没有意义，这说明对于90度角和270度角，正切和正割没有定义。同样地，对于0度角和180度角，余切和余割没有定义。

三角函数的特殊值

如图所示，大小为 $30^{\circ }$和 $45^{\circ }$的整数倍的$\theta$角和它们的精确正弦和余弦值已被标注在单位圆上。$\theta$角均用弧度制和角度制表示。$\theta$角所对应的单位圆上的点的坐标为（$\cos \theta$，$\sin \theta$）。

函数名	$0\ (0^{\circ })$	${\frac {\pi }{6}}\ (30^{\circ })$	${\frac {\pi }{4}}\ (45^{\circ })$	${\frac {\pi }{3}}\ (60^{\circ })$	${\frac {\pi }{2}}\ (90^{\circ })$
$\sin$	$0$	${\frac {1}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$1$
$\cos$	$1$	${\frac {\sqrt {3}}{2}}$	${\frac {\sqrt {2}}{2}}$	${\frac {1}{2}}$	$0$
$\tan$	$0$	${\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$1$	${\sqrt {3}}$	$\pm \infty$

注：有时候$\pm \infty$会被写作无定义(不存在)。

两角和差公式

$\sin \left(x+y\right)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

$\sin \left(x-y\right)=\sin x\cos y-\cos x\sin y$

$\cos \left(x+y\right)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

$\cos \left(x-y\right)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$

$\tan(\theta \pm \psi )={\frac {\tan \theta \pm \tan \psi }{1\mp \tan \theta \tan \psi }}$

二倍角公式

$\sin 2\theta =2\sin \theta \cos \theta \,$

$\cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta$

正弦定理和余弦定理

正弦定理是三角学中的一个定理。它指出：对于任意$\triangle ABC$，$a$、$b$、$c$分别为$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$的对边，$R$为$\triangle ABC$的外接圆半径，则有

${\frac {a}{\sin \angle A}}={\frac {b}{\sin \angle B}}={\frac {c}{\sin \angle C}}=2R$

一个三角形

余弦定理是三角形中三边长度与一个角的余弦值（$\cos$）的数学式，参考右图，余弦定理指的是：

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$

同样，也可以将其改为：

$b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta$

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha$

其中$c$是$\gamma$角的对边，而$a$和$b$是$\gamma$角的邻边。

勾股定理则是余弦定理的特殊情况，当$\gamma$为$90^{\circ }$时，$\cos \gamma =0$，等式可被简化为

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

当知道三角形的两边和一角时，余弦定理可被用来计算第三边的长，或是当知道三边的长度时，可用来求出任何一个角。