Jury稳定性准则

Jury稳定性准则（Jury stability criterion）是在信号处理及控制理论中，判断线性离散系统稳定性的方式，是利用分析特征多项式来进行分析。Jury稳定性准则是劳斯–赫尔维茨稳定性判据的离散时间版本。Jury稳定性判据要求系统的极点都要位在以原点为圆心的单位圆内，劳斯–赫尔维茨稳定性判据要求系统的极点在复数平面的左半边。Jury稳定性准则得名自伊拉克裔美籍工程师殷巴尔·易卜拉欣·朱瑞（英语：Eliahu Ibraham Jury）。

方法

系统的特征多项式如下

f(z)=a_{n}+a_{n-1}z^{1}+a_{n-2}z^{2}+\cdots +a_{1}z^{n-1}+a_{0}z^{n}

用以下的方式来建构表格^[1]：

row	zⁿ	z^n-1	z^n-2	z^....	z¹	z⁰
1	a₀	a₁	a₂	...	a_n-1	a_n
2	a_n	a_n-1	a_n-2	...	a₁	a₀
3	b₀	b₁	...	b_n-2	b_n-1
4	b_n-1	b_n-2	...	b₁	b₀
5	c₀	c₁	...	c_n-2
6	c_n-2	c_n-3	...	c₀
...	...	...	...	...	...	...
2n-5	p₃	p₂	p₁	p0
2n-4	p₀	p₁	p₂	p3
2n-3	q₂	q₁	q₀

因此，第一行是多项式的系数，从常数项次而高次项次排列，第二行则是第一行的反序。

第三行是将第一行减去第二行乘以 ${\frac {a_{n}}{a_{0}}}$ ，而第四行是第三行的反序（并且维持最后一个元素为零）。

{\begin{aligned}a_{0}\;\;&a_{1}\;\;&\dots \;\;&a_{n-1}\;\;&a_{n}\\a_{n}\;\;&a_{n-1}\;\;&\dots \;\;&a_{1}\;\;&a_{0}\\\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\left(a_{n-1}-a_{1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\dots \;\;&\left(a_{1}-a_{n-1}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&\left(a_{0}-a_{n}{\frac {a_{n}}{a_{0}}}\right)\;\;&0\\\end{aligned}}

表格继续往下延伸，直到有一行只有一个非零元素为止。

针对头两行相减的系数是 ${\frac {a_{n}}{a_{0}}}$ ，针对第三行及第四行相减的系数就变成 ${\frac {b_{n-1}}{b_{0}}}$ ，因此所得的多项式会少一项。

稳定性测试

若 ${a_{0}}>0$ ，而 ${a_{0}}$ , ${b_{0}}$ , ${c_{0}}$ ...都是正值，表示系统的根都在单位圆内，系统稳定。只要上述有任何一个小于零，表示系统至少有一个根都在单位圆外，系统不稳定。

若Jury稳定性准则发现 ${a_{0}}$ , ${b_{0}}$ , ${c_{0}}$ ...中有一个为负值，即可结束测试，因为至少有一个根都在单位圆外，系统不稳定。

程式实现

此方式用电脑的动态阵列很容易实现。也可以确认系统所有的根（实根或是复数根）都在单位圆内。向量v是原多项式的系数，从最高项次到常数项。

        /* vvd is the jury array */
        vvd.push_back(v); // Store the first row
        reverse(v.begin(),v.end());
        vvd.push_back(v); // Store the second row

        for(i=2;;i+=2)
        {
            v.clear();
            double mult=vvd[i-2][vvd[i-2].size()-1]/vvd[i-2][0]; // This is an/a0 as mentioned in the article.

            for( j=0;j<vvd[i-2].size()-1;j++) // Take the last 2 rows and compute the next row
                   v.push_back(vvd[i-2][j] - vvd[i-1][j]*mult);

            vvd.push_back(v);
            reverse(v.begin(),v.end()); // reverse the next row
            vvd.push_back(v);
            if(v.size()==1) break;
         }

         // Check is done using
         for(i=0;i<vvd.size();i+=2)
         {
              if(vvd[i][0]<=0) break;
         }

         if(i==vvd.size())
              "All roots lie inside unit disc "
         else
              "no"

范例

若已知 ${\mathit {\mathrm {H} }}(\mathrm {z} )$ 的分母多项式为 $\mathrm {A} (\mathrm {z} )={\color {Blue}4z^{4}}-{\color {Brown}4z^{3}}+{\color {Brown}2z^{1}}-1$ ，判断该系统是否稳定。
解答:因为 $\mathrm {A} (1)=4-4+2-1=1>0$
$(-1)^{4}\mathrm {A} (-1)=4+4-2-1=5>0$
将 $\mathrm {A} (z)$ 的系数排列成朱利表(如下):

row	z⁴	z³	z²	z¹	z⁰
1	₄	_-4	₀	₂	_-1
2	_-1	₂	₀	_-4	₄
3	₁₅	_-14	₀	₄
4	₄	₀	_-14	₁₅
5	₂₀₉	_-210	₅₆

且 $4>\left|-1\right|$
$15>\left|4\right|$
$209>\left|56\right|$
即满足Jury稳定条件，因此 ${\mathit {\mathrm {H} }}(\mathrm {z} )$ 所有极点位于 $\left|z\right|<1$ 内，故系统是稳定的。