ARMA模型

ARMA模型（英语：Autoregressive moving average model，全称：自回归滑动平均模型）。是研究时间序列的重要方法，由自回归模型（简称AR模型）与移动平均模型（简称MA模型）为基础“混合”构成。在市场研究中常用于长期追踪资料的研究，如：Panel研究中，用于消费行为模式变迁研究；在零售研究中，用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。

自回归AR(p)模型

$X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}.\,$

自回归模型描述的是当前值与历史值之间的关系。

其中：$c$是常数项；$\varepsilon _{t}$被假设为平均数等于0，标准差等于$\sigma$的随机误差值；$\varepsilon _{t}$被假设为对于任何的$t$都不变。

移动平均MA(q)模型

$X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}\,$

移动平均模型描述的是自回归部分的误差累计。

其中 μ 是序列的均值，θ₁,..., θ_q 是参数，ε_t , ε_t-1,..., ε_t−q 都是 白噪声。

ARMA(p,q)模型

ARMA(p,q)模型中包含了p个自回归项和q个移动平均项，ARMA(p,q)模型可以表示为：

$X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{j=1}^{q}\theta _{j}\varepsilon _{t-j}\$

ARMA滞后算子表示法

有时ARMA模型可以用滞后算子（Lag operator）$L$ 来表示，$L^{i}X_{t}=X_{t-i}$。这样AR(p)模型可以写成为：

$\varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi (L)X_{t}\,$

其中$\varphi$表示多项式

$\varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\,$

MA(q)模型可以写成为：

$X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,$

其中θ 表示多项式

$\theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\,$

最后，ARMA(p,q)模型可以表示为：

$\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,$

或者

$\varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.\,$

若$\varphi (L)=1$,则ARMA过程退化为MA(q)过程 若$\theta (L)=1$,则ARMA过程退化为AR(p)过程。

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