魔鬼曲线

a = 0.8和b = 1的魔鬼曲线

魔鬼曲线，$a$范围从0到1 ，b = 1（曲线的颜色由蓝色变为红色）

魔鬼曲线为方程式如下的平面曲线

$y^{2}(y^{2}-a^{2})=x^{2}(x^{2}-b^{2}).$

此曲线的极座标方程为

$r={\sqrt {\frac {b^{2}\sin ^{2}\theta -a^{2}\cos ^{2}\theta }{\sin ^{2}\theta -\cos ^{2}\theta }}}={\sqrt {\frac {b^{2}-a^{2}\cot ^{2}\theta }{1-\cot ^{2}\theta }}}$.

此曲线是由加布里尔·克拉默在1750年发现，他对魔鬼曲线有深入的研究。

魔鬼曲线得名自它中间的双纽线，此形状得名自杂耍游戏扯铃，扯铃的外形类似双纽线。而扯铃的英文为diabolo，而意大利文的diabolo即为魔鬼。

在$|b|>|a|$时，魔鬼曲线是水平的（也称为沙漏曲线）。在$|b|<|a|$时，此曲线是垂直的。若$|b|=|a|$，魔鬼曲线会变成圆形。

垂直的魔鬼曲线和y轴的交点在y座标分别是$b,-b,0$的三个点，水平的魔鬼曲线和x轴的交点在x座标分别是$a,-a,0$的三个点。

马达曲线

魔鬼曲线的一个特例是${\frac {a^{2}}{b^{2}}}={\frac {25}{24}}$，此曲线称为马达曲线（electric motor curve），其方程如下：

$y^{2}(y^{2}-96)=x^{2}(x^{2}-100)$.

马达曲线的由来是因为曲线像是马达线圈的形状。

外部链接

• MathWorld – Devil's Curve （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The MacTutor History of Mathematics (University of St. Andrews) – Devil's curve （页面存档备份，存于互联网档案馆）