跳转到内容

离散正交转换

维基百科,自由的百科全书

数学上,任一的离散线性转换皆可表示成矩阵(Matrix) 的型式:

再进一步假设,若矩阵 by正交基底 (Orthogonal basis) 列向量(Row vector) 所组成:

也可表示成级数和形式(Summation form):

其中代表内积运算(Inner product)。

同理也可假设,若矩阵 by正交基底行向量(Column vector) 所组成:

也可表示成级数和:

假若时,则可得

离散正交转换

大致上,可简单化将矩阵分类由(a)列向量(Row Vector)或(b)行向量(Column Vector)所组成。

正交矩阵by列向量:

其中,为一组列向量的正交集合且称为一种离散正交转换。

再者,若满足。则将组成一组列向量的正规化正交集合且称为一种离散正规化正交转换。

此时,我们可利用来求得反矩阵

其中。再者,也可表示成级数和(Summation)形式:

,即简化成,

正交矩阵by行向量:

其中,为一组行向量的正交集合且也称是一种离散正交转换。

再者,若满足。则将组成一组行向量的正规化正交集合且称为一种离散正规化正交转换。

此时,我们再利用来组成反矩阵

其中。再者,也可表示成级数和:

,即简化成,

例子

如:哈恩转换Krawtchouk多项式Charlier多项式

特性

  • 其列向量型式与行向量型式为一体两面的情形:
    • 顺向转换(Forward Transform):列向量型式反向转换(Inverse Transform):行向量型式。
    • 顺向转换(FT):行向量型式反向转换(IT):列向量型式。
  • 于正规化正交情况下:
    • 若为行向量所组成的正规化正交矩阵,则它所对应的列向量形成的反矩阵必为正规化正交矩阵。
    • 若为列向量所组成的正规化正交矩阵,则它所对应的行向量形成的反矩阵必为正规化正交矩阵。

优点

  • 彼此间的列向量(或行向量)不会互相产生干扰(Interference)。
    • 在同一维度(dimension)下,DOT提供正交矩阵内的列向量(或行向量) 彼此间重要的正交特性,可借由此避免其他使用者干扰进而来实现多工存取技术。

  • 其本身的FT与对应的IT结构为相当类似。
  • 此外,离散正交转换较非正交转换(Non-orthogonal Transform)计算上较为简单。
  • DOT应用于影像重建(Reconstruction) 或压缩上,可借由增加正交基底(Orthogonal basis)来控制误差的产生,是采用非正交转换所能及的。

应用于影像重建

通常对于影像重建压缩上大都采用局部重建(Parital reconstruction)的机制,即:

(a) 正交情况下

因此,对于局部重建所产生的平方误差(Sqaure error):

从此结果可发现必定为正的,因此可借由增加正交基底数来改善影像重建后的平方误差值。

(b)非正交情况下

因此,对于局部重建所产生的平方误差

从此结果可发现不一定为正的,所以无法利用增加基底数来改善平方误差。

参阅

参考文献