通约性

假若，两个不等于零的实数 $a\,\!$ 与 $b\,\!$ 的除商 ${\frac {a}{b}}\,\!$ 是一个有理数，或者说， $a$ 与 $b$ 的比例相等于两个非零整数 $p$ 与 $q$ 的比例：

a:b=p:q\ (a,b\in R,p,q\in Z\land p,q\neq 0)

，

则称它们是互相可通约的（commensurable），而这特性则称为通约性。这意味着，存在一个非零的实数公约数（common measure） $m\ (m\in R,m\neq 0)$ ，使得

a=mp,b=mq

，

所以

a:b=mp:mq=p:q

或是

{\frac {a}{b}}={\frac {mp}{mq}}={\frac {p}{q}}

，

其中 ${\frac {p}{q}}\in Q$ ，所以 ${\frac {a}{b}}\in Q$ 。

反之，如果该二数的除商是一个无理数，则称它们是不可通约的（incommensurable），亦即， $a$ 与 $b$ 之间不存在一个公约数 $m\ (m\in R,m\neq 0)$ 使得

a=mp,b=mq\ (p,q\in Z)

。

历史

毕达哥拉斯学派发现了不可通约数（无理数） ${\sqrt[{}]{2}}$ ，这破坏了他们的比例论。

为了挽救比例论，尤得塞斯提出了以几何量为基础的比例论，被欧几里得收录在《几何原本》的第五册中。这本书里面记载着，假若， $n_{a}\,\!$ 个线段 $c\,\!$ 连接起来，成为一个线段，全等于线段 $a\,\!$ ； $n_{b}\,\!$ 个线段 $c\,\!$ 连接起来，成为一个线段，全等于线段 $b\,\!$ ；这里， $n_{a}\,\!$ 与 $n_{b}\,\!$ 是整数。那么，两个线段 $a\,\!$ 与 $b\,\!$ 是互相可通约的。欧几里得并没有用到实数的概念。他用到了线段与线段之间，全等，比较长，或比较短，这些概念。

数学

设定实数 $a\,\!$ 与 $b\,\!$ 。那么，实数 $c\,\!$ ，整数 $n_{a}\,\!$ 与 $n_{b}\,\!$ 的存在，促使

a=n_{a}c\,\!

，

b=n_{b}c\,\!

，

的充分必要条件是除商 ${\frac {a}{b}}\,\!$ 为有理数。

假设 $a\,\!$ 与 $b\,\!$ 是正值的实数。又假设我们有一支尺，长度单位为实数 $c\,\!$ 。我们用这尺来测量两个长度为 $a\,\!$ 与 $b\,\!$ 的线段。假若，所得到的答案都是整数，则称 $a\,\!$ 与 $b\,\!$ 互相可通约的；否则，互相不可通约的。

天文学

在天文学里，两个公转于运行轨道的天体，像行星、卫星、或小行星，若它们的公转周期的比例是有理数，则称它们相互呈现通约性。

物理学

在一个周期性物理系统里，每一个广义坐标都有它运动的周期。假若，其中有任何广义坐标的周期与别的广义坐标的周期不相同，则称此物理系统为多重周期性物理系统。假若，两个广义坐标的周期的比例是个有理数，则称这两个周期是互相可通约的。假若，每一个广义坐标的周期与其它的广义坐标的周期都是互相可通约的，则此系统是完全可通约的，称此系统为完全可通约系统。

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