此条目介绍的是拓扑学中的边界。关于流形中的边界，请见“
流形 ”。
集合（浅蓝色）和它的边界（深蓝色）。 边界 ，（英语：boundary ），是点集拓朴的概念，拓扑空间 X 的子集 S 的边界 是从 S 和从 S 的外部 都可以接近的点的集合。更严格的说，它是属于 S 的闭包 但不是 S 的内点 的所有点的集合。S 的边界的元素叫做 S 的边界点 （英语：boundary point ）。集合 S 的边界的符号包括 bd(S )、fr(S ) 和 ，
∂
S
{\displaystyle \partial S}
General Topology 中）使用术语“边境”（frontier）而不用边界来试图避免混淆于代数拓扑学中使用的边界概念。
S 的边界的连通单元 叫做 S 的边界单元 。
拓扑空间
(
X
,
τ
)
{\displaystyle (X,\tau )}
S
{\displaystyle S}
边界 （记为
∂
S
{\displaystyle \partial S}
S
{\displaystyle S}
闭包 减去
S
{\displaystyle S}
内部 ：
∂
S
=
S
¯
−
S
o
{\displaystyle \partial S={\bar {S}}-S^{o}}
S
{\displaystyle S}
补集 的闭包的交集：
∂
S
=
S
¯
∩
(
X
−
S
)
¯
{\displaystyle \partial S={\bar {S}}\cap {\overline {(X-S)}}}
∂
S
{\displaystyle \partial S}
x
{\displaystyle x}
x
{\displaystyle x}
邻域 都包含至少一个属于
S
{\displaystyle S}
S
{\displaystyle S}
x
{\displaystyle x}
S
{\displaystyle S}
边界点 。
集合的边界是闭集 。
p 是某集合的边界点，当且仅当 所有 p 的邻域包含至少一个点属于该集合且至少一个点不属于该集合。某集合的边界等于该集合的闭包和该集合的补集的闭包的交集。
某集合是闭集，当且仅当该集合的边界在该集合中；某集合是开集 ，当且仅当该集合与其边界不相交。
某集合的边界等于其补集的边界。
某集合的闭包等于该集合和其边界的并集。
某集合的边界为空，当且仅当该集合既是开集也是闭集(也就是闭开集 )。
若
X
=
[
0
,
5
)
{\displaystyle X=[0,5)\,}
∂
X
=
{
0
,
5
}
{\displaystyle \partial X=\{0,5\}}
∂
B
¯
(
a
,
r
)
=
B
¯
(
a
,
r
)
−
B
(
a
,
r
)
{\displaystyle \partial {\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)={\overline {B}}(\mathbf {a} ,r)-B(\mathbf {a} ,r)}
∂
D
n
≃
S
n
−
1
{\displaystyle \partial D^{n}\simeq S^{n-1}}
∂
∅
=
∅
{\displaystyle \partial \emptyset =\emptyset }
在 R 3 中，若 Ω=x 2 +y 2 ≤ 1且Z=0，则 ∂Ω = Ω；但在 R 2 中，∂Ω = {(x , y ) | x 2 +y 2 = 1}。所以，集合的边界依赖其背景空间。
