数学上,超极限是几何的构造法,对一个度量空间序列Xn指定一个度量空间为其极限。超极限推广了度量空间的格罗莫夫-豪斯多夫收敛。
超滤子
在自然数集上的超滤子ω,是一个有限可加的集合函数(可视为有限可加测度),从自然数集的幂集映射到集合{0,1}上,使得。一个在上的超滤子ω 称为非主要的,若对所有有限子集, 都有ω(F)=0。
点序列关于一个超滤子的极限
设ω是上的非主要超滤子。
若是度量空间(X,d)上的点序列,x∈ X,称x是xn的ω -极限,记为,若对所有都有
不难看出:
- 若一个点序列的ω-极限存在,则是唯一的。
- 若在标准意义下,则。(这性质成立,关键在超滤子是非主要的。)
若(X,d)紧致,则每个点序列都存在ω-极限。故此,实数的有界序列都存在ω-极限。
有基点度量空间的超极限
设ω是在上的非主要超滤子。设 (Xn,dn) 是度量空间,有基点pn∈Xn。
考虑序列,其中xn∈Xn。这个序列称为容许的,若实数序列(dn(xn,pn))n有界,也就是存在正实数C,使得。记容许序列的集合为。
由三角不等式可知对两个容许序列及,序列(dn(xn,yn))n有界,因此存在ω-极限。在中定义关系如下:对,每当时便有 。易知 是等价关系。
序列(Xn,dn, pn)关于ω的超极限是一个度量空间,定义如下。[1]
作为集合,有。
对两个容许序列及的等价类,定义
不难看到有良好定义,且为 上的度量。
记。
备注