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素数阶乘素数

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素数阶乘素数(又称素数阶乘質数質数阶乘素数)是和某个素数阶乘相邻的素数,即它是某个素数阶乘的增一或减一。

pn素数阶乘记作pn#。
pn# − 1是素数,对n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ... (OEIS数列A057704
pn# + 1是素数,对n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, ...(A014545

前几个素数阶乘素数是:

3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209

截至2022年,已知的最大质数阶乘质数是 3267113#-1 ,它有 1418398 位数,由PrimeGrid英语PrimeGrid发现。[1]已知的最大的形如 n#+1 的质数阶乘质数是 392113#+1 ,它有 169966 位数,由Daniel Heuer发现。


素数阶乘素数也能用来证明素数是无限的。 首先,假设前n个素数是唯一存在的素数。如果pn# + 1或pn# − 1是素数阶乘素数,这意味着有比第n个素数更大的素数(即使不是素数,也能证明素数无穷,但不那么直接。这两个数除以前n个中的任何一个素数 p 时,都有余数 1 或 p−1 ,因此不整除其中任何一数)。

事实上,欧几里得证明并没有假设一个有限集合包含所有素数的存在。相反,他说:

consider any finite set of primes 
(not necessarily the first n primes;
 e.g. it could have been the set {3, 11, 47}),
 and then went on from there to the conclusion 
that at least one prime exists that is not in that set.

意思是: 考虑任何素数的有限集合(不一定是一开始的素数,例如,它可以是集合{3,11,47}),然后从两个方面得到这样的结论:至少存在一个不在该集合的素数。[1]页面存档备份,存于互联网档案馆[2]

参见

参考文献

  1. ^ Primegrid.com页面存档备份,存于互联网档案馆); official anouncement, 24 December 2010
  2. ^ A. Borning, "Some Results for and " Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.