素数阶乘素数

素数阶乘素数（又称素数阶乘質数或質数阶乘素数）是和某个素数阶乘相邻的素数，即它是某个素数阶乘的增一或减一。

p_n的素数阶乘记作p_n#。

p_n# − 1是素数，对n = 2, 3, 5, 6, 13, 24, ... （OEIS数列A057704）

p_n# + 1是素数，对n = 1, 2, 3, 4, 5, 11, ...（A014545）

前几个素数阶乘素数是：

3, 5, 7, 29, 31, 211, 2309, 2311, 30029, 200560490131, 304250263527209

截至2022年，已知的最大质数阶乘质数是 3267113#-1 ，它有 1418398 位数，由PrimeGrid发现。已知的最大的形如 n#+1 的质数阶乘质数是 392113#+1 ，它有 169966 位数，由Daniel Heuer发现。

素数阶乘素数也能用来证明素数是无限的。 首先，假设前n个素数是唯一存在的素数。如果p_n# + 1或p_n# − 1是素数阶乘素数，这意味着有比第n个素数更大的素数（即使不是素数，也能证明素数无穷，但不那么直接。这两个数除以前n个中的任何一个素数 p 时，都有余数 1 或 p−1 ，因此不整除其中任何一数）。

事实上，欧几里得的证明并没有假设一个有限集合包含所有素数的存在。相反，他说：

consider any finite set of primes 
(not necessarily the first n primes;
 e.g. it could have been the set {3, 11, 47}),
 and then went on from there to the conclusion 
that at least one prime exists that is not in that set.

意思是： 考虑任何素数的有限集合（不一定是一开始的素数，例如，它可以是集合{3，11，47}），然后从两个方面得到这样的结论：至少存在一个不在该集合的素数。[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

参见

• 素数阶乘
• 阶乘素数
• 欧几里得数
• PrimeGrid

参考文献

• A. Borning, "Some Results for $k!+1$ and $2\cdot 3\cdot 5\cdot p+1$" Math. Comput. 26 (1972): 567 - 570.
• Chris Caldwell, The Top Twenty: Primorial （页面存档备份，存于互联网档案馆） at The PrimePages.
• 埃里克·韦斯坦因. Primorial Prime. MathWorld. 
• Harvey Dubner, "Factorial and Primorial Primes." J. Rec. Math. 19 (1987): 197 - 203.
• Paulo Ribenboim, The New Book of Prime Number Records. New York: Springer-Verlag (1989): 4.