复对数
复对数(英语:Complex logarithm)为自然对数延伸到非零复数的函数,是以下两个定义中的一个,这两个定义彼此也密切相关:
- 非零复数的复对数,定义为可以使的任意复数[1][2]。此复数可以表示为[1]。若以极坐标表示为,其中和是实数,,则是的一个复对数,的所有复对数会是,其中的为整数[1][2]。对数会在复数平面上在一条垂直线上等距排列。
- 复数值函数,定义在集合中非零复数中的一个子集合,满足,针对里的所有。这样的复数函数类似实数的自然对数函数,后者是实数指数函数的反函数,因此针对所有的正实数x,可以满足eln x = x。复对数函数可以用有关实数值函数显式公式来建立,用的积分,或是用解析延拓的方式建立。
没有在整个复数域均有定义的连续复指数函数。处理此问题的方式包括分支、相关的黎曼曲面、以及复数指数函数的部分反函数(partial inverse)。主值(principal value)定义了特定的复指数函数,除了在负实数轴之外都连续。是不考虑负实数和0的复平面。这是(实数)自然对数的解析延拓。
参考资料
书目
- Ahlfors, Lars V. Complex Analysis 2nd. McGraw-Hill. 1966 [2024-01-13]. (原始内容存档于2024-01-13).
- Sarason, Donald. Complex Function Theory 2nd. American Mathematical Society. 2007.