苏斯林问题

在数学上，苏斯林问题是由米哈伊尔·雅科夫列维奇·苏斯林提出关于全序集合的问题，在1920年提出，这问题在他死后出版。目前已知这问题独立于标准的集合论公理系统，也就是带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论。梭罗维和滕博姆（Tennenbaum, S.）在1971年证明：在假定策梅洛-弗兰克尔集合论一致的状况下，这问题无法证明或反证。

Un ensemble ordonné (linéairement) sans sauts ni lacunes et tel que tout ensemble de ses intervalles (contenant plus qu'un élément) n'empiétant pas les uns sur les autres est au plus dénumerable, est-il nécessairement un continue linéaire (ordinaire)?
一个没有跳跃或间隔、且其所有的区间（包含多于一个元素）的集合彼此不重合且至多可数的（线性）有序集必然是（一般的）线性连续统吗？

苏斯林在1920年对苏斯林问题的原始陈述

形式化

苏斯林问题所问的是，若有一个非空全序集$R$，而这$R$有以下的性质：

1. $R$没有 最大与最小元；
2. $R$的序列是稠密的（也就是在两个不同元素中间总有别的元素）
3. $R$的序列是完备的，也就是说，其所有的非空有界子集都有上界与下界
4. $R$所有彼此不相交的非空开区间的搜集是可数的（也就是$R$的序拓扑上的可数链条件）

在这种条件下，$R$必然是与实数线序同构的吗？

若将“可数链条件”的要求换成$R$有一个可数的稠密子集（也就是$R$是一个可分空间），那这答案就是“是”：所有这样的$R$在这种状况下与实数线序同构，而这点为康托尔所证明。

一个拓扑空间的所有非空开集的搜集是至多可数的这条件又称为苏斯林性质。

影响

任何满足条件1至4但“不”同构于实数线的全序集合又称作苏斯林线；而苏斯林猜想所讲的是没有苏斯林线，也就是说所有具有可数链条件且没有上下界的稠密完备线性序列与实数线同构；而一个等价的陈述是任何高度为$\omega _{1}$的树具有高度为$\omega _{1}$的分支或者大小为$\aleph _{1}$的反链。

一般化苏斯林猜想指的是对于任意无限正则基数$\kappa$而言，所有高度为$\kappa$的树，要不具有长度为$\kappa$的分支或者大小为$\kappa$的反链；而苏斯林线的存在性，与苏斯林树和苏斯林代数的存在性等价。

苏斯林猜想独立于带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）。叶赫（Jech）在1967年与滕博姆（Tennenbaum）在1968年各自独立地用力迫法建构出一个带有苏斯林线的ZFC模型。罗纳德·延森之后证明了说在假定钻石原则（这是可构造性公理$V=L$的一个结果）的状况下苏斯林线存在；而在另一方面，梭罗维和滕博姆在1971年用力迫法构造出了一个不包含苏斯林线的ZFC模型；此外，他们还证明说在假定马丁公理成立且连续统假设不成立的状况下，苏斯林猜想成立。

苏斯林猜想独立于广义连续统假设及连续统假设不成立的假定，而目前不知道苏斯林猜想是否与广义连续统假设相容；然而，由于这组合蕴含说方形原则在一个单一的强极限基数下不成立之故，这表示说决定公理在​​L(R)中成立，且一般相信说这蕴含了一个带有超强基数的内模型。

参见

• ZFC系统无法确定的命题列表
• AD+
• 康托尔同构定理

参考资料

• K. Devlin and H. Johnsbråten, The Souslin Problem, Lecture Notes in Mathematics (405) Springer 1974.
• Jech, Tomáš, Non-provability of Souslin's hypothesis, Comment. Math. Univ. Carolinae, 1967, 8: 291–305, MR 0215729 
• Souslin, M., Problème 3 (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1920, 1: 223 [2022-07-27], doi:10.4064/fm-1-1-223-224 , （原始内容存档 (PDF)于2022-01-21） 
• Solovay, R. M.; Tennenbaum, S., Iterated Cohen Extensions and Souslin's Problem, Annals of Mathematics, 1971, 94 (2): 201–245, JSTOR 1970860, doi:10.2307/1970860 
• Tennenbaum, S., Souslin's problem., Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 1968, 59 (1): 60–63, Bibcode:1968PNAS...59...60T, MR 0224456, PMC 286001 , PMID 16591594, doi:10.1073/pnas.59.1.60  
• Grishin, V. N., Suslin hypothesis, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4