维格纳半圆分布
概率密度函数 | |||
累积分布函数 | |||
参数 | radius (real) | ||
---|---|---|---|
值域 | |||
概率密度函数 | |||
累积分布函数 |
for | ||
期望值 | |||
中位数 | |||
众数 | |||
方差 | |||
偏度 | |||
峰度 | |||
熵 | |||
矩生成函数 | |||
特征函数 |
维格纳半圆分布是一以物理学家尤金·维格纳(Eugene Wigner)命名的概率分布。其概率密度函数(Probability Distribution Function)系一存在[-R,R]区间内的半圆形分布、以(0,0)为中心点并经过适当规范化(Normalized)的结果,因而其实其函数图型是一半椭圆形。
for −R ≤ x ≤ R, and f(x) = 0 if R < |x|.
此概率分布可做为一大小接近无限的随机对称矩阵,其特征值(Eigenvalues) 的分布限制范围。
它是一个经过缩放的Β分布(Beta Distribution)。精确而言:当Y值有B分布(α = β = 3/2)时,则其X = 2RY – R值具备上述分布特性。
性质
第二种切比雪夫多项式(Chebyshev Polynomial)是此分布的正交多项式 (Orthogonal Polynomial) 。对于正整数n,此分布之第2n项动差(Moment)为:
此处 X是一随机变数,而Cn是第n项 卡塔兰数(Catalan number):
因此若R=2,此分布之动差为卡塔兰数。
(因为对称性的关系,所有奇数项之动差皆为0)
若以 替代式子动差生成函数(Moment generating Function)内的x,则我们可以发现:
并得以此式子得出(详见Abramowitz and Stegun §9.6.18) (页面存档备份,存于互联网档案馆):
式中的 是一变异贝索函数(Modified bessel functions)。
同样地,其特征方程式:
其中的 是贝索函数。( 详见 Abramowitz and Stegun §9.1.20) (页面存档备份,存于互联网档案馆)。若取一有限且接近0的实数 ,则维格纳半圆分布成为一狄拉克δ函数 (Dirac delta function)。微分方程式 (Differential equation)
与非古典概率的关系
在 非古典概率 (free probability) 理论中,维格纳半圆分布有着如同常态分布 (Normal Distribution) 在古典概率中一样的角色。 也就是说,在非古典概率中,累积量 (Cumulant) 的角色被"自由累积量" (free Cumulant、待翻译)。
参看
- The W.s.d. is the limit of the Kesten–McKay distributions, as the parameter d tends to infinity.
- In number-theoretic literature, the Wigner distribution is sometimes called the Sato–Tate distribution. See Sato–Tate conjecture.
- Marchenko–Pastur distribution or Free Poisson distribution
参考
- Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.
相关连结
- Eric W. Weisstein et al., Wigner's semicircle (页面存档备份,存于互联网档案馆)