算数阶层

算术阶层是递归论或可计算性理论中的概念，将自然数的子集按照定义它们的公式的复杂度分类。

定义

按公式定义

设 $\phi (x)$ 为自然数的语言中的公式，定义 $\phi$ 为 $\Delta _{0}$ 公式当且仅当 $\phi$ 中的所有量词都是有界量词（即形如 $\exists n<t$ 或 $\forall n<t$ 的量词，其中 $t$ 为该语言中的项）。

定义 $\phi (x)$ 为 $\Sigma _{1}^{0}$ 公式当且仅当 $\phi (x):=\exists n\,\theta (n,x)$，其中 $\theta$ 为 $\Delta _{0}$；定义 $\phi$ 为 $\Pi _{1}^{0}$ 公式当且仅当 $\phi (x):=\forall n\,\theta (n,x)$，其中 $\theta$ 为 $\Delta _{0}$。

更进一步定义 $\phi (x)$ 为 $\Sigma _{n+1}^{0}$ 公式当且仅当 $\phi (x):=\exists n\,\theta (n,x)$，其中 $\theta$ 为 $\Pi _{n}^{0}$ 公式；定义 $\phi (x)$ 为 $\Pi _{n+1}^{0}$ 公式当且仅当 $\phi (x):=\forall n\,\theta (n,x)$，其中 $\theta$ 为 $\Sigma _{n}^{0}$ 公式。

设 $A\subseteq \mathbb {N}$；若存在 $\Sigma _{n}^{0}$ 公式定义 $A$ 则称 $A$ 为 $\Sigma _{n}^{0}$ 集合，若存在 $\Pi _{n}^{0}$ 公式定义 $A$ 则称 $A$ 为 $\Pi _{n}^{0}$ 公式。（若有公式 $\phi$ 与集合 $A$，使 $A=\{x\;\vert \;\mathbb {N} \vDash \phi (x)\}$，则称 $\phi$ 定义 $A$。）

按可计算性定义

若集合 $A$ 可以用图灵机（或任何等价的计算模型）计算得出，则称 $A$ 为 $\Delta _{0}$ 集合。若 $A$ 为递归可枚举集合则称 $A$ 为 $\Sigma _{1}^{0}$ 集合，若 $A$ 的补集 $\mathbb {N} \backslash A$ 递归可枚举则称 $A$ 为 $\Pi _{1}^{0}$ 集合。这一定义实际上与上面给出的定义是等价的。

更高阶层的算术类可以通过波斯特定理与可计算性联络起来：设 $\mathbb {0} ^{(n)}$ 为零不可解度的第 $n$ 次图灵跳跃，则任何集合 $A$ 是 $\Sigma _{n+1}^{0}$ 集合当且仅当 $A$ 可以用具备 $\mathbb {0} ^{(n)}$ 的预言机递归枚举；任何集合是 $\Pi _{n+1}^{0}$ 集合当且仅当其补集满足以上条件。

举例

• 所有递归集合都是 $\Delta _{0}$ 集合、所有递归可枚举集合都是 $\Sigma _{1}^{0}$ 集合（逆命题亦成立）。
• 停机集合（即所有停机的图灵机）是 $\Sigma _{1}^{0}$ 集合，它在 $\Sigma _{1}^{0}$ 类中是完全的。
• 所有有限递归可枚举集合的编号（记作 $\mathrm {Fin}$）是 $\Sigma _{2}^{0}$-完全集合（因此所有无限递归可枚举集合的编号是 $\Pi _{2}^{0}$-完全集合）。
• 所有 $\Sigma _{1}^{0}$-完全集合作为递归可枚举集合的编号是 $\Sigma _{3}^{0}$-完全集合。

参考资料

• H. D. Ebbinghaus, J. Flum, Wolfgang Thomas. Mathematical Logic (Undergraduate Texts in Mathematics) 2nd edition. Springer. 1996. ISBN 9780387942582 （英语）.  引文格式1维护：冗余文本 (link)
• Robert I. Soare. Recursively Enumerable Sets and Degrees: A Study of Computable Functions and Computably Generated Sets. Springer. 2004. ISBN 9780387152998 （英语）.