矩阵函数

数学上讲，矩阵函数是把矩阵映射到另一个矩阵的函数。

将标量函数拓展为矩阵函数

指数级数

如果实值函数 f具有泰勒展开

$f(x)=f(0)+f'(0)\cdot x+f''(0)\cdot {\frac {x^{2}}{2!}}+\cdots$

那么矩阵函数可以通过用矩阵替换自变量$x$得到：指数运算变成矩阵指数，加法变成矩阵和，与标量系数的乘法变成矩阵和标量的乘法。如果实级数在$|x|<r$时收敛，那么其对应的关于$A$的矩阵级数也将收敛，如果在某个满足$\|AB\|\leq \|A\|\cdot \|B\|$的矩阵范数$\|\cdot \|$上满足$\|A\|<r$。

可对角化矩阵

如果矩阵$A$是可对角化矩阵，则结果可以简化为一个由各个特征值的函数值构成的矩阵。换句话说，假设我们可以找到矩阵$P$和对角阵$D$，使得$A=P\cdot D\cdot P^{-1}$，那么 把指数级数的定义用到这个分解上，我们可以得到

$f(A)=P{\begin{bmatrix}f(d_{1})&\dots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\dots &f(d_{n})\end{bmatrix}}P^{-1}~,$

其中$d_{1},\dots ,d_{n}$表示$D$的对角元素。

相关条目

• 西尔维斯特公式
• 矩阵微积分
• 迹不等式
• 矩阵三角函数

参考资料

• Higham, Nicholas J. Functions of matrices theory and computation. Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics. 2008. ISBN 9780898717778.