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直流有刷电动机

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直流有刷电动机是内部有整流子（换相器）的电动机，可以由直流电供电运动。直流有刷电动机可以将电能转换为动能，而且所需的直流电源已当时普遍使用在商用及工业大楼中，因此是早期商品化的重要电器设备。直流有刷电动机可以用调整工作电压或是磁场强度的作法来改变其转速。依照磁场绕组供电方式的不同，直流有刷电动机的速度转矩特性可以调整为定速度特性，或是速度和负载成反比的模式。直流有刷电动机会使用在电力推进系统、吊车、造纸机（英语：paper machine）及轧钢厂中。由于直流有刷电动机中的电刷会磨损，需要定期保养更换，随着电力电子学的发展，直流无刷电动机已在许多应用中取代了直流有刷电动机。

结构

直流有刷电动机的基本构造包括电枢、场磁铁、集电环和电刷。

  1. 电枢：可以绕轴心转动的软铁芯缠绕多圈线圈。
  2. 场磁铁：产生磁场的强力永久磁铁或电磁铁。
  3. 集电环：线圈两端接至两片半圆形的集电环，随线圈转动，可供改变电流方向的变向器。每转动半圈（180度），线圈上的电流方向就改变一次。
  4. 电刷：通常使用碳制成，集电环接触固定位置的电刷，用以接至电源。

简易两极直流电动机的原理

下图是简易二极有刷直流电动机的原理。

直流电动机旋转
此为一个简单的直流电（D.C.）电动机。当线圈通电后，转子周围产生磁场，转子的左侧被推离左侧的磁铁，并被吸引到右侧，从而产生转动。
转子依靠惯性继续转动。
当转子运行至水平位置时整流子将线圈的电流方向逆转，线圈所产生的磁场亦同时逆转，使这一过程得以重复。
反复上述步骤，电动机即会旋转。
不同尺寸的电动机

若绕在软磁性材料上的线圈，其中有电流流过，又放在外加磁场下，依弗莱明左手定则，线圈一端的导线会受一个和磁场和电流垂直的力，另一端的导线则会受一反方向的力。这二个力会使线圈旋转。若要让线圈持续往同一方向旋转，若针对二极电动机，每旋转半圈时，线圈上的直流电需改变方向，使线圈继续往同一方向旋转。

上述电动机的一个问题是出现在线圈和磁场平行的情形下，也就是定子和转子差90度的情形下，此时的力矩为零。在上图中，左侧第二图即为线圈和磁场平行的情形。电动机转子若在此位置，无法启动运转。不过只要电动机开始运转，通过此位置时，会因为转子的惯性而使电动机继续运转。

这种二极的设计还有另一个问题。在零转矩的位置，二个整流电刷会同时碰触到二个换相片（commutator plates），造成短路。电源线会因为换相片而短路，而线圈也会因为电刷而在短路路径中。（上述零力矩的问题和此问题无关，就算短路时线圈通过大电流，产生的力矩仍然是零。）此处短暂的短路无法产生动力。若是电池供电，低电流的应用，问题可能还不大。但若二极电动机的功率到达数百瓦，短路可能会让整流子严重过热，若电刷是金属的，甚至可能让电刷熔化。若使用碳刷，就不会有熔化的问题。而这样的短路在电力上是种浪费，一方面会让电池的电快速耗尽，而供电线路不能只考虑电动机正常运转需要的电流，也需考虑短路的电流。

玩具里微型化电动机的内部

有关避免短路的问题，有个简单的处理方式，是让二个换相片之间的间隙比电刷之间的间隙要大。这会增加在转动时零力矩的比例，但可以避免短路的问题。而且在此修改外，只要让电动机固定在零力矩的位置，不让它转动，即可有效的让电动机停止。在自制的业余电动机中仍可看到这种设计。此作法明显的有个缺点：电动机在旋转时，每一圈会固定有二小段时间没有力矩，其输出力矩是脉动力矩。若用在电扇或是飞轮上，问题不大，但在许多应用中是完全不合适的，例如像录音机的驱动电动机，需要定速转动的设备，或是常常需要快速加减速的设备。另外一个缺点是线圈的电感很大，上面的电流不允许瞬间的变化。其电流可能会从换相片和电刷之间的间隙跳火，因此产生电弧。

就算在电扇和飞轮的应用中，也有一个缺点：电动机在一些特定位置（零力矩点）无法自行启动，因此这种电动机不太适合实际的使用。实务上直流电动机的转子不只二极，因此可以在任意位置下启动，不会有力矩为零的位置，不论在哪个位置，流经线圈的电流都可以产生力矩。许多玩具和小型电器中常见的直流有刷电动机，也是最简单的量产直流电动机，其电枢绕组是三极的。电刷可以跨接二个相邻的换相片，不会造成短路。三极绕组的另一个优点是电刷上的电流可能是透过二个绕组或是一个绕组。若启动时，某一绕组的电流是标准值的一半（此绕组和另一绕组并联），其电流会上升到其标准值，再降至其标准值的一半，接下来电流量值有类似的变化，但符号由正变负。这个阶梯状的电流比较接近弧波，其力矩变化也会比二极转子的电动机（每一相的电流比较接近方波）。其电流变化较小，因此比较不会有电刷产生电弧的情形。

若直流电动机的轴因为外力而转动，直流电动机会类似发电机，产生电动势（EMF）。在正常运作下，电动机转动时会产生电压，称为反电动势（CEMF）。电动机在静止时其电阻很小，但在电动机旋转时，给相同的电压，其电流会小于静止时的电流，就是因为反电动势的影响。因此，电动机上的压降除了电阻的压降外，还有反电动势及杂散电压降。其电流的方程如下：

电动机产生的机械功如下：

若无载的直流电动机旋转，会产生一个电动势，避免电流继续增加。在转速上升时其电流会继续下降，因此自由旋转的电动机其电流很小。电动机在有负载时，其电流才会上升。

换相面

在电滚子（dynamo）中，穿过一对电刷的接触面中心，和电枢旋转轴平行的平面称为“换相面”（commutating plane）。图中只绘出换相面和一个电刷之间的关系，假设另一侧旳电刷也以类似和方式和换相面接触。

定子磁场扭曲的补偿

真实电滚子的磁场不均匀。在转子旋转时会引发磁场的效应，会使牵引定子的磁力线，使其扭曲。

定子磁场受转子影响的示意图，有夸大其影响程度
由铁屑可以看出转子上的扭曲磁场

转子旋转的越快，磁场扭曲的情形就越严重。若让转子磁场和定子磁场垂直，运作的效率最高，因此需要调整电刷的位置让转子磁场和扭曲后的扭曲磁场成直角。

若没有扭曲效应时，的换相面位置
有扭曲效应时的真实换相面位置

若转子转向相反，其磁场效应也会相反，其真实换相面位置也会不同，因此很难制作高效率、可反转的换相电滚子。

这个效果类似内燃机中的点火正时。一般而言电滚子会设定在以固定转向以及速度旋转，因此其电刷会固定在该转向和转速下最大效率的位置[1]。

绕线定子的直流电动机会用换相场绕组（英语：commutating field winding）和补偿绕组（英语：compensation winding）来补偿磁场的扭曲。

设计上分类

直流有刷电动机转子是由绕组组成，定子可能是绕组，也可能是永久磁铁。

绕线定子

  • A, 并激式
  • B, 串激式
  • C, 复激式
  • f, 场绕组

场绕组有四种基本的型式：他激（sepex）、串激式绕组（Series）、并激式绕组（shunt），以及合并串激和并激的复激式（compound）绕组。

他激(励)式电动机中，励磁绕组与电枢没有电的联系，励磁电路是由另外直流电源供给的，因此励磁电流不受电枢端电压或电枢电流的影响。会用在直流牵引电动机，以控制车轮滑转（英语：Locomotive wheelslip）。

并激(励)式电动机中，并励绕组两端电压就是电枢两端电压，但是励磁绕组用细导线绕成，其匝数很多，因此具有较大的电阻，使得通过他的励磁电流较小。负载增加时，扭力增加，转速不太受影响。

串激(励)电动机中，励磁绕组是和电枢串联的，所以这种电动机内磁场随着电枢电流的改变有显著的变化。为了使励磁绕组中不致引起大的损耗和电压降，励磁绕组的电阻越小越好，所以直流串励电动机通常用较粗的导线绕成，其匝数较少。串激式电动机在负载增大时，扭力增大但转速减慢。

复激式电动机具有并激式和串激式的特性，大起动扭力及较稳定转速。

永久磁铁电动机

永久磁铁定子的电动机，其性能比直流电动机、激磁电动机或同步电动机都好，是分数马力应用中常用的电动机。永久磁铁电动机和其他单馈电机比较，永久磁铁电动机体积较小、较有效率，可靠度也比较高[2]。

一开始大型的工业直流电动机会用定子绕组电动机，或是转子磁铁电动机。因为很难找到可以维持高磁场强度的材料，因此以往永久磁铁电动机只会用在小功率的应用中。近来材料科学的进步，已可以制造高强度的永久磁铁（例如钕磁铁），因此可以开发小型高功率的电动机，不需要大体积的场绕组以及激磁元件。不过随着高性能的永久磁铁越来越多的应用在电动机和发电机系统中，也开始出现其他的问题。

轴向磁场电动机

主条目：轴向磁场电动机（英语：Axial flux motor）

传统直流有刷电动机的磁场是径向的，会和电动机的旋转轴交叉。不过也有一些电动机的设计是让磁场和旋转轴平行，转子在旋转时会切割磁场。因此可以有较强的磁场（特别是用海尔贝克阵列（英语：halbach array）的磁铁排列方式时）。这可以让电动机在低速时有较大的功率输出。不过其集中的磁通密度会受到残留磁通密度的限制，而且磁芯饱和的磁通密度是主要的设制限制。

速度控制

一般而言，直流电动机的转速和绕组的电动势（加在绕组上的电压减去本身的电阻压降）成正比，其力矩和电流成正比。速度控制可以用调整电池、调整电源电压、电阻或是电子控制的方式达成。有一些速度控制相关的模拟[3][4]。绕线场绕组直流电动机的转向可以用将场绕组或电枢电流反向（但不能两者都反向）的方向来达成。电流反向的电路可以用特殊的继电器来达成。等效电压可以用串联电阻来调整，或是用晶闸管、晶体管或水银整流器制成的控制设备来调整[5]。

串并联

在电力电子学技术问世之前，串并联控制是铁路牵引电动机控制的标准作法。电力机车上有四颗电动机，可以用以下的三种方式接线：

  • 所有的电动机串联（电动机端电压是线电压的四分之一），其转速最低。
  • 二个电动机串联，最后再将二组电动机并联（电动机端电压是线电压的一半）。
  • 所有电动机并联（电动机端电压是线电压），其转速最高。

上述都是假设电动机是运行在最小电阻损失的速度。若是在启动或是加速，需要用电阻进行额外的控制，若用电子控制系统，即可不用用电阻进行额外的控制。

弱磁控制

弱磁（field weakening）控制是提升电动机转速的方式。利用降低电动机的磁场，来提升电动机转速。

直流电动机的弱磁控制可以用在并激场绕组中串联电阻，或是在串激绕组中增加电阻来达到，都可以降低场绕组的电流。若磁场降低，反电动势也会降低，因此电枢绕组可以通过较大电流，使速度增加。直流电动机的弱磁控制一般会配合其他控制方式（例如串并联控制）使用。

斩波器

在斩波器电路中，会快速的切换提供给电动机的电压，来调整给电动机的平均电压。斩波器会调整输出导通和关断的时间比例，以调整给电动机的平均电压，电动机的转速也会随之变化。导通时间的比例乘以供电电压，即为给电动机的平均电压。例如供电电压100V，导通时间占25%，电动机的平均电压即为25V。在输出关断时，电枢的电感会让电流持续导通，因此开关上需要和开关并联的飞轮二极管，在此情形下让电流导通，此时供电电流为0。若输出导通占比是100%，电动机电流等于供电电流。快速切换会产生切换损失，但是比串联电阻产生的损失要小。此方式也称为是脉冲宽度调变（PWM），会用微处理器实现。有时会在输出端加装滤波器，使输出的平均电压比较平缓，也可以减少电动机线上的噪声。

串激绕组的直流电动机在低速时有最高的转矩，常用在牵引电动机的应用（例如铁路机车及有轨电车）。另外一种应用是汽油引擎和柴油引擎车辆的起动电动机。若电动机有可能会无载运转（例如皮带驱动），不能使用串接绕组电动机。电动机加速时，其电枢电流（和磁场电流）会下降。磁场下降也再让电动机加速，因此形成正回授，最后会让电动机损坏，若是直接驱动风扇冷却的电动机，比较不会有这类的问题。在鐡路应用上，因为车轮可能会暂时离开铁轨，失去附着力，这可能会造成问题，除非很快可以重新控制电动机，否则电动机的速度会上升到相当高的速度。这不会会损害电动机和齿轮，因为车轮和铁轨的速度差，使其快速加热和冷却，也会破坏车轮和铁轨。有些应用会用电子控制导入弱磁控制，以增加电动机的速度。最简单的作法是用接触器和弱磁电阻。利用电子控制监控电动机电流，当电流小于设定值时（此时，电动机在设计转速）串接弱磁电阻。此时的转速会超过额定转速。当电动机电流增加时，接触器会切断弱磁电阻，让电动机回到正常的转速。

Ward Leonard

Ward Leonard控制（英语：Ward Leonard control）可以控制并激型或复激式的直流电动机，而且可以在交流电源下控制直流电动机的速度（若在直流电源的架构，也是有类似的好处）。会由交流电源来驱动交流电动机（多半会是感应电动机），交流电动机会驱动直流发电机。绕组的直流输出直接接到直流电动机电枢绕组（有时会是在相同架构下，不过也有例外）。直流发电机和直流电动机的场绕组会个别用可变电阻进行控制。透过调整发电机场电流和电动机场电流，可以从电动机静止到全速范围内都有精准的速度控制，而且可以有定转矩。自Ward Leonard控制问世之后，这就是电动机控制的业界标准，一直到晶闸管电力电子系统问世后，才被电力电子系统取代。当时只要是需要良好速度控制的应用，都会用Ward Leonard控制，从载人电梯到大型矿井井上绕组设备，甚至是工业过程设备以及电动吊车等。Ward Leonard控制的主要缺点是其架构至少需要三台电机（电动机和发电机），若是非常大型的应用，直流发电机和直流电动机会配两组，再串联可变电阻控制，因此会需要五台电机。在许多的应用中，电动机—发电机组会持续运转，以避免需要用电时才让电动机加速，因而造成的时间延迟。小型到中型的Ward Leonard控制器已被晶闸管电力电子系统取代，但有些数千马力的Ward Leonard控制器仍在运作。其场电流远小于电枢电流，因此可以用小型的晶闸管控制，此方式控制的电动机功率会比直接用晶闸管控制的电动机功率要大的多。例如在某个应用中，控制发电机场电流的晶闸管额定只需要300A，但发电机产生的电流超过15,000 A，若直接用晶闸管控制，不但价格昂贵，而且也没有效率。

直流电动机的转矩和转速

直流电动机的转速和力矩会依其激磁方式而不同。会依照负载的不同，选择他激场绕组、自激场绕组或是永久磁铁激磁来控制电动机。自激场绕组的电动机，其场绕组也可以用并激式、串激式或是复激式。

基本特性

定义

  • Eb，反电动势（V）
  • Ia，电枢电流（A）
  • kb，反电动势常数
  • kn，速度方程常数
  • kT，力矩方程常数
  • n，场电枢频率（rpm）
  • Rm，电动机电阻（Ω）
  • T，电动机力矩（Nm）
  • Vm，电动机输入电压（V）
  • Φ，机器总磁通量（Wb）
  • 卡特系数（Carter's coefficient，kC）是在在开槽（open slots）或半闭槽（semi-enclosed slots）的情形下，估计电动机电枢有效槽距（slot pitch）的方式[6]。

反电动势方程

直流电动机的反电动势和总磁通强度和电枢速度的乘积成正比：

Eb = kb Φ n[7]

电压平衡方程

直流电动机的输入电压需克服反电动势，也要克服电动机电枢绕线、场绕线和电刷电阻产生的电压降：

Vm = Eb + Rm Ia[8][9]

力矩方程

直流电动机的力矩和电枢电流和总磁通强度的乘积成正比[10][11][12]

：

其中

kT = kb/2π

速率方程

因为

n = Eb/kb Φ and
Vm = Eb + Rm Ia

可得[13][14][15]

其中

kn = 1/kb

转矩和转速特性

并激绕组式电动机

并激式电动机的高电阻（场绕组）和电枢并联，Vm, Rm和Ø都是定值，因此从无载到满载的速度变化率（speed regulation）最少会大于5%[16]。速度控制的方式有以下三种[17]：

  • 改变场电压
  • 弱磁
  • 改变场绕组上的电阻

串激绕组式电动机

主条目：交流整流子电动机

串激绕组式电动机在负载变大时其转速会降低，电流增加，因为电流同时流到电枢和场绕组，转矩会和电流的平方成正比。电动机堵转时，其电流只受绕组本身的电阻所限制，因此转矩会相当高，但有绕组过热的风险。串激绕组式电动机以往常用在各种铁路运输的牵引电动机[18]，不过后来已被逆变器驱动的交流异步电动机所取代。电动机电枢绕组上的反电动势和其电阻可以限制流经电枢的电流。电动机刚送电启动时，电枢静止未旋转，反电动势是零，此时只靠电枢电阻来限制电流[19]。可预期的，此时通过电枢的电流会很大，因此在启动时需要额外的电阻和电枢串联来限制电流，直到电枢已旋转，可产生反电动势为止。若电动机已开始加速运转，就可以逐渐的将电阻切离。

串激绕组式电动机的最大特点是其转速和需要驱动负载的转矩有关。这适合驱动大惯量的负载，因为在加速时会需要最大转矩，当开始加速后其转矩就可以慢慢减少。

串激绕组式电动机在无载时的速度可能会非常快，甚至会快到会造成危险的程度，因此串激绕组式电动机多半会直接驱动负载，或是用齿轮连接负载[20]。

永久磁铁电动机

永久磁铁直流电动机的特性是堵转转矩（stall torque，轴静止时的最大转矩）和轴上没有负载时的无载转速之间的线性关系。[21]

保护

要延长直流电动机的寿命，可以使用保护装置[22]以及电机控制器来避免电动机的机械损坏、过度潮湿、电击穿、高温或是热过载[23]。保护设备会感测电动机的异常条件[24]，并且产生警报提醒操作者，或是在故障发生时自动将电动机断电。电动机的过载可以用热过载继电器来保护。有些电动机在绕组中嵌有双金属过载继电器，在温度过高时，双金属带（英语：bimetallic strip）会往不同方向偏折，使电路及电动机开路。加热器是外加的热过载保护器，串联在电动机绕组上，装在电动机的接触器上。当过电流时接点会熔化，使电动机电路开路。双金属加热器的效果类似嵌入式双金属保护器。保险丝及断路器可以保护过电流或是短路。接地故障继电器也可以用来作接地短路保护。接地故障继电器会监控电动机绕组电流以及接地系统电流。若在电动机－发电机组中，会有反向电流继电器避免电池放电，反而发动发电机旋转。直流电动机若丧失磁场，可能会造成有危险性的速度过高失控（runaway），因此会将失磁电驿（loss of field relays）[25]和电动机场绕组并联以感测场电流。若场电流低于一定值，电驿会切断电动机的电枢电路。转子锁死的条件会让电动机在开始启动程序后无法加速运转。距离继电器可以避免类似情形。低压电动机保护一般会整合到电动机控制器或是缓启动器中。此外，针对电压突波或是浪涌电流（surges）可以用隔离变压器（英语：isolation transformer）、电力稳压器（英语：Power conditioner）、压敏电阻、突波保护器及谐波滤波器来保护。

环境条件（像是灰尘、爆炸性蒸气、水、高周温等）都会对直流电动机的运行有负面影响。为了要保护电动机，美国电气制造商协会（NEMA）和国际电工委员会（IEC）都已将电动机的外壳标准化[26]，针对保护电动机不受这些污染来进行设计。在电动机设计阶段也会使用电脑软件（例如Motor-CAD（英语：Motor-CAD）来提升电动机的热效率。

参数和状态估测

有许多研究在估测电动机的参数，作法包括有传统以模型为主的估测器，例如扩展卡尔曼滤波（英语：extended Kalman filter）（EKF）[27][28]和伦伯杰观测器[29]，也有使用智能的估测器，例如级联前馈神经网络（cascade-forward neural network、CFNN）及准牛顿BFGS反向传播（quasi-Newton BFGS backpropagation）[30]。 

相关条目

脚注

  1. ^ Hawkins Electrical Guide
  2. ^ Gottlieb, I.M. Electric Motors & Control Techniques 2nd. TAB Books. 1994. 
  3. ^ DC motor speed control MATLAB simulation code.. [2021-04-07]. （原始内容存档于2018-02-09）. 
  4. ^ Design and Simulation of Control Systems for a Field Survey Mobile Robot Platform.. [2021-04-07]. （原始内容存档于2018-02-09）. 
  5. ^ Lander, Cyril W. 8 D.C. Machine Control. Power Electronics 3rd. London: Mc Graw Hill International UK. 1993. ISBN 0-07-707714-8. 
  6. ^ Neville, S.: 'Use of Carter's coefficient with narrow teeth', Proceedings of the Institution of Electrical Engineers, 1967, 114, (9), p. 1245-1250
  7. ^ Hameyer, p. 66, eq. 5-3437
  8. ^ Lynn, §8-144, p. 826, eq. 8-17
  9. ^ Hameyer, p. 66, eq. 5-20
  10. ^ Lynn, §8-146, p. 826, eq. 8-18
  11. ^ Hameyer, p. 66, eq. 5-23
  12. ^ Lynn, §147, p. 827, eq. 8-21
  13. ^ Lynn, §8-147, p. 827, eq. 8-20
  14. ^ Hameyer, p. 68, eq. 5-31
  15. ^ Lynn, §147, p. 827, eq. 8-22
  16. ^ Lynn, §8-148 to §8-151, p. 827-828
  17. ^ Hameyer, p. 69
  18. ^ Alger, §7-278, p. 757
  19. ^ Alger, §7-277, p. 757
  20. ^ Lynn, §8-154, p. 828
  21. ^ MIT CIPD
  22. ^ Herman, Stephen L. Electric Motor Control. （页面存档备份，存于互联网档案馆） 9th ed. Delmar, Cengage Learning, 2009. Page 12.
  23. ^ Malcolm Barnes. Practical variable speed drives and power electronics. （页面存档备份，存于互联网档案馆） Elsevier, Newnes, 2003. Page 151.
  24. ^ J. Lewis Blackburn. Protective relaying: principles and applications. （页面存档备份，存于互联网档案馆） CRC Press, 1998. Page 358.
  25. ^ Ohio Electric Motors. DC Motor Protection.Ohio Electric Motors. 2011. （页面存档备份，存于互联网档案馆）
  26. ^ H. Wayne Beaty and James L. Kirtley. Electric Motor Handbook. （页面存档备份，存于互联网档案馆） McGraw-Hill Professional, 1998. Page 97.
  27. ^ Pantonial, Roel; Kilantang, Alan; Buenaobra, Bernardino. Real time thermal estimation of a Brushed DC Motor by a steady-state Kalman filter algorithm in multi-rate sampling scheme. TENCON 2012 IEEE Region 10 Conference. November 2012: 1–6. ISBN 978-1-4673-4824-9. S2CID 25418197. doi:10.1109/TENCON.2012.6412194. 
  28. ^ Acarnley, P.P.; Al-Tayie, J.K. Estimation of speed and armature temperature in a brushed DC drive using the extended Kalman filter. IEE Proceedings - Electric Power Applications. January 1997, 144 (1): 13–20 [2021-04-27]. ISSN 1350-2352. doi:10.1049/ip-epa:19970927. （原始内容存档于2020-08-08）. 
  29. ^ NESTLER, H.; SATTLER, PH K. On-Line-Estimation of Temperatures in Electrical Machines by an Observer. Electric Machines & Power Systems. 1993-01-01, 21 (1): 39–50. ISSN 0731-356X. doi:10.1080/07313569308909633. 
  30. ^ Mellah, Hacene; Hemsas, Kamel Eddoine; Taleb, Rachid; CECATI, carlo. Estimation of speed, armature temperature and resistance in brushed DC machines using a CFNN based on BFGS BP. Turkish Journal of Electrical Engineering & Computer Sciences. 2018, 26 (6): 3182–3192. S2CID 69944028. arXiv:1902.03171 可免费查阅. doi:10.3906/elk-1711-330. 

书目

  • Alger, P. L. §7-277 to §7-287 'AC Commutator Motors' in Sec. 7 - Alternating-Current Generators and Motors. Knowlton, A.E. (编). Standard Handbook for Electrical Engineers 8th. McGraw-Hill: 826–831. 1949. 
  • Hameyer, Kay. §5.2 'Basic Equations' in section 5 - DC Machine. Electrical Machine I: Basics, Design, Function, Operation. RWTH Aachen University Institute of Electrical Machines. 2001. 
  • Lynn, C. §8-144 to §8-165 'Motor Characteristics and Regulation' in Sec. 8 - Direct-Current Generators and Motors. Knowlton, A.E. (编). Standard Handbook for Electrical Engineers 8th. McGraw-Hill: 826–831. 1949. 
  • MIT CIPD. Understanding D.C. Motor Characteristics. Designing with D.C. Motors. MIT, Mech. Engineering, CIPD. 2009 [2008-12-11]. （原始内容存档于2021-04-22）. 

外部链接

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