盒拓扑

在拓扑学中，拓扑空间的笛卡尔积上有数种不同可行的拓扑。其中一个较自然的选择是盒拓扑（英语：box topology），其中基由组件空间中开集的笛卡尔积给出。 ^[1]另一种选择是乘积拓扑，其中基也由组件空间中开集的笛卡尔积给出，但其中只有有限个开集严格小于整个组件空间。

虽然盒拓扑的定义比乘积拓扑更直观，但它满足的性质较少。特别地，如果所有组件空间都是紧凑的，则它们的笛卡尔积上的盒拓扑不一定是紧凑的，而它们的笛卡尔积上的乘积拓扑始终是紧凑的。一般而言，盒拓扑比乘积拓扑更精细，尽管在有限乘积的情况下（或当除了有限多个因子之外的所有因子都是平凡的时候），两者是一致的。

定义

对于 $X$ 使得

X:=\prod _{i\in I}X_{i},

或拓扑空间的（可能是无限的）笛卡尔积 $X_{i}$ ，索引为 $i\in I$ ，盒子拓扑 $X$ 由基

{\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\mid U_{i}{\text{ open in }}X_{i}\right\}

生成。盒子这个名字来自于 $\mathbb {R} ^{n}$ 的情况，因为其拓扑基中的开集看起来像盒子。乘积公间 $\prod _{i\in I}X_{i}$ 的盒拓扑的有时用 ${\underset {i\in I}{\square }}X_{i}$ 表示。

性质

考虑 $\mathbb {R} ^{\omega }$ 上的盒拓扑： ^[2]

盒拓扑是完全规则的
盒子拓扑既不紧凑也不连通
盒子拓扑不是第一可数的（因此不是可度量的）
盒子拓扑不可分离
如果连续统假设成立，则盒子拓扑是仿紧的（因此是正则的和完全正则的）

示例 -- 连续性

对可数个 $\mathbb {R}$ 的乘积 $\mathbb {R} ^{\omega }$ （例如由所有实数数列组成的集合），考虑 $\mathbb {R}$ 的常见拓扑以及 $\mathbb {R} ^{\omega }$ 的盒拓扑。定义

{\begin{cases}f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{\omega }\\x\mapsto (x,x,x,\ldots )\end{cases}}

所有因子函数都是恒等函数，因而连续，但下面会证明 $f$ 并不连续。

考虑盒拓扑中的开集

U=\prod _{n=1}^{\infty }\left(-{\tfrac {1}{n}},{\tfrac {1}{n}}\right)

，

如果 $f$ 连续，由于

f(0)=(0,0,0,\ldots )\in U,

由连续性的定义，存在 $\varepsilon >0$ 使得 $(-\varepsilon ,\varepsilon )\subset f^{-1}(U).$ 。但这意味着

f\left({\tfrac {\varepsilon }{2}}\right)=\left({\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},{\tfrac {\varepsilon }{2}},\ldots \right)\in U,

然而对足够大的正整数 $n>{\frac {2}{\epsilon }}$ ，有 ${\frac {\epsilon }{2}}>{\frac {1}{n}}$ 。所有即使所有因子函数都连续， $f$ 不连续。

示例 -- 紧凑性

同样地考虑可数乘积空阊 $X=\prod _{i\in \mathbb {N} }X_{i}$ ，其中每个 $X_{i}=\{0,1\}$ 都为离散拓扑。则 $X$ 上的盒拓扑也是离散的。注意离散拓扑紧凑当且仅当该拓扑空间有限，所以即使所有因子空间都紧凑， $X$ 不紧凑。

$X$ 也不是序列紧空间：考虑 $X$ 中元素（可以视为序列）组成的序列 $\{x_{n}\}_{m=1}^{\infty }$

(x_{n})_{n}={\begin{cases}0&m<n\\1&m\geq n\end{cases}}

由于序列中所有的元素都不同，该序列没有极限点，因此 $X$ 不是序列紧的。

示例 -- 盒拓扑中的收敛

理解一个拓扑空间最好的方法之一是理解序列如何在该拓扑空间中收敛。一般地，空间 $X$ 关于自身及指标集 $S$ 的笛卡尔积是由 $S$ 到 $X$ 的函数空间，表示为 ${\textstyle \prod _{s\in S}X=X^{S}}$ 。积空间上的收敛等价于逐点收敛：函数序列 $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ 收敛当且仅当对所有 $s\in S$ ，每个函数在 $s$ 上的值组成的序列 $\{f_{n}(s)\}_{n=1}^{\infty }$ 收敛。

因为盒拓扑比积拓扑更加精细，盒拓扑的收敛条件会更为严格。假设 $X$ 是郝斯多夫空间， $X^{S}$ 上的函数序列 $(f_{n})_{n}$ 在盒拓扑中收敛于函数 $f\in X^{S}$ 当且仅当它逐点收敛至 $f$ ，同时存在有限子集 $S_{0}\subset S$ 及 $N$ 使得对所有 $n>N$ ， $X$ 中的序列 $(f_{n}(s))_{n}$ 在集合 $s\in S\setminus S_{0}$ 上是常数函数。^[3]

与乘积拓扑之异同

乘积拓扑中基中的开集的定义与上述盒拓扑几乎相同，除了一个限制：除了有限个U _i之外，其他分量开集都等于整个分量空间X _i 。换言之，积空间中的拓扑基定义为

${\mathcal {B}}=\left\{\prod _{i\in I}U_{i}\mid U_{i}{\text{ open in }}X_{i},U_{i}\subsetneq X_{i}{\text{ only for finitely many }}i\in I\right\}$ 。

乘积拓扑满足关于分量空间的映射 $f_{i}:Y\rightarrow X_{i}$ 的一个非常理想的性质：由分量函数f _i定义的乘积映射 $f:Y\rightarrow X$ 连续当且仅当所有的 $f_{i}$ 都连续。然而这在盒拓扑中不总是成立。这使盒拓扑非常适用于构造反例—许多特性，例如紧凑性、连通性、可度量性等。即使所有因子空间都具有这些特性，在盒拓扑中通常不会保留。