狄利克雷定理是狄利克雷于1837年发表的数论中关于质数在同余类中分布的定理:对于任意互质正整数对
,模
同余
的质数集合
相对质数集合
的密度为
。
定理内容
狄利克雷定理表明:
- 若
互质,则![{\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x;N,r)}{\pi (x)}}={\frac {1}{\phi (N)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f48fc3a7c4bad19f8d4a99c3c5d0589148762d4)
- 其中,
为欧拉函数,
为质数计数函数,
为模
同余
集合中小于
的质数个数。
质数在同余类中的分布
狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。
形象地说,在模
同余类中,除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合,质数的分布是大致均匀的。
- 以
为例:共有
共
个模
同余集合,其中同余集合
不包含或只含有限个质数,剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合
中:
- 在不大于
的质数中,质数在
中的比率分别为
和
;
- 在不大于
的质数中,质数在
中的比率分别为
和
;
- 在不大于
的质数中,质数在
中的比率分别为
和
。
- 以
为例:共有
共
个模
同余集合,其中同余集合
不包含或只含有限个质数,剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合
中:
- 不大于
的质数中,质数在
中的比率分别为
和
;
- 在不大于
的质数中,质数在
中的比率分别为
和
;
- 在不大于
的质数中,质数在
中的比率分别为
和
;
相关定理
- 欧几里得证明了有无限个质数,即有无限多个质数的形式如
。
- 算术级数的质数定理:若
互质,则有
。
其中φ是欧拉函数。取
,可得一般的质数定理。
- 林尼克定理说明了级数中最小的质数的范围:算术级数
中最小的质数少于
,其中
和
均为常数,但这两个常数的最小值尚未找到。
- 柴伯塔瑞夫密度定理是在狄利克雷定理在伽罗瓦扩张的推广。
历史
欧拉曾以
,来证明质数有无限个。约翰·彼得·狄利克雷得以灵感,借助证明
来证明算术级数中有无限个质数。这个定理的证明中引入了狄利克雷L函数,应用了一些解析数学的技巧,是解析数论的重要里程碑。
推广
这个定理的一些推广形式,但是都还只是未被证明的猜想而已,并不是定理。
参考
- T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7