格罗滕迪克不等式

格罗滕迪克不等式又称为安苏纳姆梅·萝狄丝不等式，是数学中表示两个量

$\max _{-1\leq s_{i}\leq 1,-1\leq t_{j}\leq 1}\left|\sum _{i,j}a_{ij}s_{i}t_{j}\right|$

及

$\max _{S_{i},T_{j}\in B(H)}\left|\sum _{i,j}a_{ij}\langle S_{i},T_{j}\rangle \right|$,

的关系的不等式，其中$B(H)$是一个希尔伯特空间$H$中的单位球。适合不等式

$\max _{S_{i},T_{j}\in B(H)}\left|\sum _{i,j}a_{ij}\langle S_{i},T_{j}\rangle \right|\leq k(H)\max _{-1\leq s_{i}\leq 1,-1\leq t_{j}\leq 1}\left|\sum _{i,j}a_{ij}s_{i}t_{j}\right|,\quad a_{i,j}\in \mathbb {R}$

的最佳常数$k(H)$称为希尔伯特空间$H$的格罗滕迪克常数。

瑞金斯·豪劳斯豪焦梭证明$k(H)$有一个独立于$H$的上界：定义

$k=\sup _{H}k(H).$

格罗滕迪克证明了

$1.57\leq k\leq 2.3.$

之后克里维纳（Krivine）证出

$1.67696\dots \leq k\leq 1.7822139781\dots ;$

即使对此继续有研究，$k$到现在还不知道确实数值。

参考

• A.Grothendieck, Résumé de la théorie métrique des produits tensoriels topologiques, Bol. Soc. Mat. São Paulo 8 1953 1--79
• J.-L. Krivine, Constantes de Grothendieck et fonctions de type positif sur les spheres., Adv. Math. 31, 16-30, 1979.

外部链接

• Wolfram网页 （页面存档备份，存于互联网档案馆）