最短路径树

最短路径树（shortest-path tree），是一种使用最短路径算法生成的数据结构树。

定义

考虑一个连通无向图$G$，一个以顶点$v$为根节点的最短路径树$T$是图$G$满足下列条件的生成树——树$T$中从根节点$v$到其它顶点$u$的路径距离，在图$G$中是从$v$到$u$的最短路径距离。

在一个所有最短路径都明确（例如没有负长度的环）的连通图中，我们可以使用如下算法构造最短路径树：

1. 使用戴克斯特拉算法或贝尔曼-福特算法计算图 G 中从根节点 v 到 顶点 u 的最短距离$dist(u)$
2. 对于所有的非根顶点$u$，我们可以给$u$分配一个父顶点 $p_{u}$，$p_{u}$连接至u且 $dist(p_{u})+edge\_dist(p_{u},u)=dist(u)$。当有多个$p_{u}$满足条件时，选择从v到$p_{u}$的最短路径中边最少的$p_{u}$。当存在零长度环的时候，这条规则可以避免循环。
3. 用各个顶点和它们的父节点之间的边构造最短最短路径树。

上面的算法保证了最短路径树的存在。像最小生成树一样，最短路径树通常也不是唯一的。

在所有边的权重都相同的时候，最短路径树和广度优先搜索树一致。在存在负长度的环时，从$v$到其它顶点的最短简单路径不一定构成最短路径树。

外部文献

• Cahn, Robert S. Wide Area Network Design. 1998. 

参见

• 最短路径问题