普朗特数

普兰特数（英语：Prandtl number，缩写： $\mathrm {Pr}$ ），是一个流体力学无因次的标量，以德国力学家路德维希·普朗特（Ludwig Prandtl）的名字命名，表示动黏滞系数和热扩散率的比例，也可以视为动量传输（英语：Momentum transport）及热量传输速率的比例。

定义

普兰特数的定义如下 :

\mathrm {Pr} ={\frac {\nu }{\alpha }}={\frac {c_{p}\mu }{k}}

其中:

$\nu$ : 运动黏滞系数, $\nu =\mu /\rho$ , (SI制单位 : m²/s)
$\alpha$ : 热扩散率, $\alpha =k/(\rho c_{p})$ , (SI制单位 : m²/s)
$\mu$ : 动力黏滞系数 (SI制单位 : Pa s)
k : 热传导系数 (SI制单位 : W/(m K) )
c_p : 定压比热 (SI制单位 : J/(kg K) )
$\rho$ : 密度

雷诺数或格拉斯霍夫数的公式中有包含一个表示长度的变数，而普兰特数 $\mathrm {Pr}$ 的公式中没有类似的变数，表示 $\mathrm {Pr}$ 和孔径、长度或特征长度等参数无关，只和流体及其状态有关。在描述物质特性的表中，除了列出黏滞系数及热传导系数外，有时也会列出普兰特数 $\mathrm {Pr}$ 。

常见物质的Pr

以下是一些常见物质的 $\mathrm {Pr}$ :

空气及气体约 0.7-0.8
惰性气体、氢气或惰性气体的混合物约 0.16-0.7
水大约是 7
地球的地幔约是10×10²⁴
机油范围在 100 到 40,000 之间
R-12冷媒约在 4 到 5 之间
水银约 0.015

对水银而言，由于热扩散率远大于动黏滞系数，热量主要会以传导的方式传递，以热传导的方式传播热量会比对流有效。对于机油则恰好相反，动黏滞系数远大于热扩散率，热量主要会以对流的方式传递，以对流的方式传播热量会比热传导有效。

在热量传播的应用中， $\mathrm {Pr}$ 控制动量边界层及热边界层的相对厚度。Pr小表示热扩散速率会比速度(动量)扩散速率要快。因此液态金属（如水银）的热边界层厚度会比速度边界层大很多。

质量传播也有类似普兰特数的无因次量，称为施密特数 $\mathrm {Sc}$ 。

参见

参考资料

工程流体力学, 科技图书公司, 2012
Viscous Fluid Flow, F. M. White, McGraw-Hill, 3rd. Ed, 2006
Effects of Prandtl number and a new instability mode in a plane thermal plume. R. Lakkaraju, M Alam. Journal of Fluid Mechanics, vol. 592, 221-231 (2007)