整数分拆

  关于将整数写成其他整数的乘积，请见“整数分解”。

一个正整数可以写成一些正整数的和。在数论上，跟这些和式有关的问题称为整数拆分、整数剖分、整数分割、分割数或切割数（英语：Integer partition）。其中最常见的问题就是给定正整数$n$，求不同数组$(a_{1},a_{2},...,a_{k})$的数目，符合下面的条件：

1. $a_{1}+a_{2}+...+a_{k}=n$ （$k$的大小不定）
2. $a_{1}\geq a_{2}\geq ...\geq a_{k}>0$
3. 其他附加条件（例如限定“k是偶数”，或“$a_{i}$不是1就是2”等）

分割函数p(n)是求符合以上第一、二个条件的数组数目。

拆分数量数列

4可以用5种方法写成和式：4, 3+1, 2+2, 2+1+1, 1+1+1+1。因此 $p(4)=5$。

定义 $p(0)=1$，若n为负数则 $p(n)=0$。

此函数应用于对称多项式及对称群的表示理论等。

分割函数p(n)，n从0开始：

1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77......(OEIS:A000041)

程式实现

#include <iostream>
#define MAXLENTH 20000
using namespace std;

int main() {
	const int len = MAXLENTH;
	long num[len + 1] = { 1 }; // 即使使用long也会快速溢出

	for (int i = 1; i <= len; ++i)
		for (int j = i; j <= len; ++j)
			num[j] += num[j - i];

	for (int i = 0; i <= len; i++)
		cout << i << " " << num[i] << endl;
	return 0;
}

Ferrers图示与恒等式

每种分割方法都可用Ferrers图示表示。

Ferrers图示是将第1行放$a_{1}$个方格，第2行放$a_{2}$个方格……第$k$行放$a_{k}$个方格，来表示整数分割的其中一个方法。

借助Ferrers图示，可以推导出许多恒等式：

• 给定正整数k和n，n表达成不多于k个正整数之和的方法数目，等于将n分割成任意个不大于k的正整数之和的方法数目。

证明：将表示前者其中一个数组的Ferrers图示沿对角线反射，便得到后者的一个数组。即两者一一对应，因此其数目相同。

例如 k=3，n=6：

	↔
6	=	1+1+4	=	1+1+1+3

	↔
6	=	1+2+3	=	1+2+3

	↔
6	=	2+2+2	=	3+3

此外，

$6=1+5=1+1+1+1+2$

$6=2+4=2+2+1+1$

$6=3+3=2+2+2$

$6=6=1+1+1+1+1+1$

• 上述恒等式的值亦等于将$n+k$表达成刚好$k$个正整数之和的方法的数目。

• 给定正整数$n$。将$n$表达成两两相异正整数之和的方法的数目，等于将$n$表达成奇数之和的方法的数目。

例如$n=8$：

1. 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
2. 7 + 1
3. 3 + 3 + 1 + 1
4. 5 + 3
5. 5 + 1 + 1 + 1
6. 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

1. 8
2. 7 + 1
3. 6 + 2
4. 5 + 3
5. 5 + 2 + 1
6. 4 + 3 + 1

• 将$n$表达成$p$个1和$q$个2之和，这些方法的数目是第$n$个斐波那契数。

• 将$n$表达成多于1的正整数之和的方法数目是p(n) - p(n-1)。

生成函数

$p(n)$的生成函数是

$\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{1-x^{k}}}\right)$

当|x|<1，右边可写成：

$(1+x+x^{2}+x^{3}+...)(1+x^{2}+x^{4}+x^{6}+...)(1+x^{3}+x^{6}+...)...$

$p(n)$生成函数的倒数为欧拉函数，利用五边形数定理可得到以下的展开式：

$\prod _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})=\sum _{i=-\infty }^{\infty }(-1)^{i}x^{i(3i-1)/2}.$

将$p(n)$生成函数配合五边形数定理，可以得到以下的递归关系式

$p(n)=\sum _{i}(-1)^{i-1}p(n-q_{i})$

其中$q_{i}$是第$i$个广义五边形数。

与杨图的关系

一个 (5, 4, 1)分拆表示的杨表

一个杨图唯一地对应于一个整数分拆，也就是说整数分拆的个数等于相应的杨图的个数。如图所示的杨图表示一个10=5+4+1的分拆。利用杨图来表示的分拆更直观性且易操作。

分拆的共轭

(5, 4, 1)分拆的转置(3, 2, 2,2,1)

将整数分拆（10=5+4+1）对应的杨图进行行列反转得到新的杨图（共轭杨图）。它对应的分拆为10=3+2+2+2+1。

Rademacher级数

渐近式：

$p(n)\sim {\frac {\exp \left(\pi {\sqrt {2n/3}}\right)}{4n{\sqrt {3}}}}{\mbox{ as }}n\rightarrow \infty .$

这式子是1918年哈代和拉马努金，以及1920年J. V. Uspensky独立发现的。

1937年，Hans Rademacher得出一个更佳的结果：

$p(n)={\frac {1}{\pi {\sqrt {2}}}}\sum _{k=1}^{\infty }A_{k}(n)\;{\sqrt {k}}\;{\frac {d}{dn}}\left({\frac {\sinh \left({\frac {\pi }{k}}{\sqrt {{\frac {2}{3}}\left(n-{\frac {1}{24}}\right)}}\right)}{\sqrt {n-{\frac {1}{24}}}}}\right)$

其中

$A_{k}(n)=\sum _{0\leq m<k\;;\;(m,k)=1}\exp \left(\pi is(m,k)-2\pi inm/k\right).$。

$(m,n)=1$表示$m,n$互质时才计算那项。$s(m,k)$表示戴德金和。这条公式的证明用上了和戴德金η函数、福特圆、法里数列、模群。

Elder定理

在将$n$表示成正整数之和的所有和式之中，任意正整数$r$作为和项出现在这些式子内的次数，跟每条和式中出现$r$次或以上的正整数数目，相同。

当$r=1$时，此定理又称为Stanley定理。

以$n=5$为例：

• 5
• 4+1
• 3+2
• 3+1+1
• 2+2+1
• 2+1+1+1
• 1+1+1+1+1

1. 1的总出现次数：0+1+0+2+1+3+5=12；在每条和式出现1次或以上的数的数目：1+2+2+2+2+2+1=12
2. 2的总出现次数：0+0+1+0+2+1+0=4；在每条和式出现2次或以上的数的数目：0+0+0+1+1+1+1=4。

附加要求的分拆

以下叙述带有附加条件的分拆。

差分拆

考虑满足下面条件分拆

1. $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}=n$ （$k$的大小不定）
2. $a_{1}>a_{2}>\cdots >a_{k}$ 即分拆的每个数都不相等。

生成函数是

$\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }\left(1+x^{k}\right)$

奇分拆

考虑满足下面条件分拆

1. $a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}=n$ （$k$的大小不定）
2. $a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{k}$
3. 要求 $a_{i}(i=1,2,\ldots ,k)$为奇数

生成函数是

$\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}=\prod _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{1-x^{2k-1}}}\right)$.

引理

差分拆的个数与奇分拆的个数是一样多的。

可以通过杨表证明。

部分个数上限的分拆

当限定将$n$表示成刚好$k$个正整数之和时，可以表示为$p_{k}(n)$。显然，$p(n)=\sum _{k=1}^{n}p_{k}(n)$。

• 对于$n>1$，$p_{n}(n)=p_{1}(n)=1$
• $p_{2}(n)=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor$ (OEIS:A004526)
• $p_{3}(n)$ = 最接近${\frac {n^{2}}{12}}$的正整数。(OEIS:A069905)
• $p_{n-1}(n)=1$
• $p_{k}(n)=p_{k-1}(n-1)+p_{k}(n-k)$

其他常见的问题

不少数学家亦有研究按以下方式分拆的方法数目：

• 将正整数写成模p同余r的正整数之和
• 将模p同余r正整数写成的正整数之和

外部链接

• Lectures on Integer Partitions （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Herbert S. Wilf