射影表示

在表示论中，群 $G$ 在域 $F$ 上的向量空间 $V$ 上的射影表示指从 $G$ 到射影线性群 $PGL$ 的一个群同态

G\to \mathrm {PGL} (V):=\mathrm {GL} (V)/F^{*}

其中 $\mathrm {GL} (V)$ 表示在域 $F$ 上向量空间 $V$ 的可逆线性变换构成的一般线性群，而 $F^{*}$ 视为标量积映射 $v\mapsto cv$ ，其中 $c\in F^{*}$ 。

若 $V$ 维度有限，选定基底后可将 $\mathrm {PGL} (V)$ 理解为 $\mathrm {PGL} (n,F)$ ，即 $n\times n$ 阶可逆矩阵对正规子群 $F^{*}\cdot \mathrm {id} _{V}$ 之商群。

对于给定的群表示 $\rho :G\to \mathrm {GL} (V)$ ，与商映射 $p:\mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)$ 合成后可得到一个射影表示。较常探讨的是逆向的问题：如何将一个射影表示 ${\bar {\rho }}:G\to \mathrm {PGL} (V)$ 提升至一个表示 $\rho :G\to \mathrm {GL} (V)$ ，使得 $p\circ \rho ={\bar {\rho }}$ ？

对于提升问题，通常采取如下进路：取同态 ${\bar {\rho }}:G\to \mathrm {PGL} (V)$ 与 $p:\mathrm {GL} (V)\to \mathrm {PGL} (V)$ 的纤维积，得到一个中心扩张

1\to F^{*}\to {\tilde {G}}\to \mathrm {GL} (V)\to 1

其中 ${\tilde {G}}=\{(g,M)\in G\times \mathrm {GL} (V)|p(M)=\rho (g)\}$ 。

这类扩张由群上同调 $H^{2}(\mathrm {GL} (V),F^{*})$ 分类。若此扩张是平凡的，则 ${\bar {\rho }}$ 可提升至 $G$ 的表示。即使此表示无法提升，仍可退而求其次，藉群上同调研究扩张的性质，例如：扩张对应的上同调类 $\alpha \in H^{2}(\mathrm {GL} (V),F^{*})$ 满足 $n\alpha =0$ 当且仅当 ${\bar {\rho }}$ 可提升为某个中心扩张 $1\to \mathbf {\mu } _{n}\to {\hat {G}}\to \mathrm {GL} (V)\to 1$ 的 ${\hat {G}}$ 的表示。

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