多重完全数

多重完全数（multiply perfect number）为一数学名词，是一种广义的完全数。

针对一自然数k，自然数n为k重完全数的充份必要条件是n所有正约数的和（即除数函数，σ(n)）等于n的k倍，此定义下，完全数的除数函数为本身的2倍，因此是2重完全数。不论k的数值为何，k重完全数都属于多重完全数。至2004年7月为止．已经找到k为11的多重完全数。

可以证明：

• 针对一素数p，若n为p重完全数且p无法整除n，则pn为(p+1)重完全数。因此可推得若整数n3重完全数，可被2整除但不能可被4整除，其充份必要条件是n/2需为奇数的完全数，至2012年12月为止，尚未发现任何奇数的完全数。
• 若3n为4k重完全数，且3无法整除n，则n为3k-重完全数。

最小的k重完全数

以下列出k <= 7时，各k值最小的k重完全数（OEIS数列A007539）：

k	最小的k重完全数	发现者
1	1	不可考
2	6	不可考
3	120	不可考
4	30240	勒内·笛卡儿，约在1638年
5	14182439040	勒内·笛卡儿，约在1638年
6	154345556085770649600	罗伯特·丹尼·卡迈克尔, 1907
7	141310897947438348259849402738485523264343544818565120000	TE Mason, 1911

例如，120的除数函数满足以下的关系：

1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360 = 3 × 120.

120的除数函数为120的三倍，因此为3重完全数：

参考资料

• Laatsch, Richard. Measuring the abundancy of integers. Mathematics Magazine. 1986, 59 (2): 84–92. ISSN 0025-570X. JSTOR 2690424. MR 0835144. Zbl 0601.10003. 
• Merickel, James G. Problem 10617 (Divisors of sums of divisors). Am. Math. Monthly. 1999, 106 (7): 693. JSTOR 2589515. MR 1543520. 
• Weiner, Paul A. The abundancy ratio, a measure of perfection. Math. Mag. 2000, 73 (4): 307–310. JSTOR 2690980. MR 1573474. 
• Sorli, Ronald M., Algorithms in the study of multiperfect and odd perfect numbers, 2003 
• Ryan, Richard F. A simpler dense proof regarding the abundancy index. Math. Mag. 2003, 76 (4): 299–301. JSTOR 3219086. MR 1573698. 
• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. B2. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 
• Broughan, Kevin A.; Zhou, Qizhi. Odd multiperfect numbers of abundancy 4. J. Number Theory. 2008, 126 (6): 1566–1575. MR 2419178. doi:10.1016/j.jnt.2007.02.001. 
• Ward, Jeffrey. Does ten have a friend?. arXiv:0806.1001 . 

外部链接

• The Multiply Perfect Numbers page （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• The Prime Glossary: Multiply perfect numbers （页面存档备份，存于互联网档案馆）