多元常态分布

多元常态分布

概率密度函数 Many samples from a multivariate (bivariate) Gaussian distribution centered at (1,3) with a standard deviation of 3 in roughly the (0.878, 0.478) direction (longer vector) and of 1 in the second direction (shorter vector, orthogonal to the longer vector).
记号	${\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }},\,{\boldsymbol {\Sigma }})$
参数	μ ∈ RN — 位置 Σ ∈ RN×N — 协方差矩阵 (半正定)
值域	x ∈ μ+span(Σ) ⊆ RN
概率密度函数	$(2\pi )^{-{\frac {N}{2}}}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {1}{2}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})'{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}(\mathbf {x} -{\boldsymbol {\mu }})},$ （仅当 Σ 为正定矩阵时）
累积分布函数	解析表达式不存在
期望	μ
众数	μ
方差	Σ
熵	${\frac {1}{2}}\ln((2\pi e)^{N}|{\boldsymbol {\Sigma }}|)$
矩生成函数	$\exp \!{\Big (}{\boldsymbol {\mu }}'\mathbf {t} +{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} {\Big )}$
特征函数	$\exp \!{\Big (}i{\boldsymbol {\mu }}'\mathbf {t} -{\tfrac {1}{2}}\mathbf {t} '{\boldsymbol {\Sigma }}\mathbf {t} {\Big )}$

多变量常态分布亦称为多变量高斯分布。它是单维常态分布向多维的推广。它同矩阵常态分布有紧密的联系。

一般形式

N维随机向量$\ X=[X_{1},\dots ,X_{N}]^{T}$如果服从多变量常态分布，必须满足下面的三个等价条件：

1. 任何线性组合$\ Y=a_{1}X_{1}+\cdots +a_{N}X_{N}$服从常态分布。
2. 存在随机向量$\ Z=[Z_{1},\dots ,Z_{M}]^{T}$( 它的每个元素服从独立标准常态分布），向量$\ \mu =[\mu _{1},\dots ,\mu _{N}]^{T}$及$N\times M$ 矩阵$\ A$满足$\ X=AZ+\mu$.
3. 存在$\mu$和一个对称半正定阵$\ \Sigma$满足$\ X$的特征函数

   $\phi _{X}\left(u;\mu ,\Sigma \right)=\mathrm {e} ^{i\mu ^{T}u-{\frac {1}{2}}u^{T}\Sigma u}$

如果$\ \Sigma$是非奇异的，那么该分布可以由以下的概率密度函数来描述：

$f_{\mathbf {x} }(x_{1},\ldots ,x_{k})={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{k}|{\boldsymbol {\Sigma }}|}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2}}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\mathbf {x} }-{\boldsymbol {\mu }})},$

注意这里的$|\Sigma |$表示协方差矩阵的行列式。

二元的情况

在二维非奇异的情况下（k = rank(Σ) = 2），向量 [X Y]′ 的概率密度函数为：

$f(x,y)={\frac {1}{2\pi \sigma _{X}\sigma _{Y}{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {1}{2(1-\rho ^{2})}}\left[({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}})^{2}-2\rho ({\frac {x-\mu _{X}}{\sigma _{X}}})({\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}})+({\frac {y-\mu _{Y}}{\sigma _{Y}}})^{2}\right]}$

其中 ρ 是 X 与 Y 之间的相关系数，$\sigma _{X}>0$ 且 $\sigma _{Y}>0$。在这种情况下，

${\boldsymbol {\mu }}={\begin{pmatrix}\mu _{X}\\\mu _{Y}\end{pmatrix}},\quad {\boldsymbol {\Sigma }}={\begin{pmatrix}\sigma _{X}^{2}&\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}\\\rho \sigma _{X}\sigma _{Y}&\sigma _{Y}^{2}\end{pmatrix}}.$