同调

数学上（特别是代数拓扑和抽象代数），同调 （homology，在希腊语中homos = 同）是一类将一个可换群或者模的序列和特定数学对象（例如拓扑空间或者群）联系起来的过程。背景知识请参看同调论。

对于一个特定的拓扑空间，同调群通常比同伦群要容易计算得多，因此通常来讲用同调来辅助空间分类要容易处理一些。

同调群的构造

其过程如下：给定对象$X$，首先定义链复形，它包含了$X$的信息。一个链复形是一个由群同态联系起来的可换群或者模$A_{0},A_{1},A_{2},\dots$的序列，群同态$d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1}$满足任何两个相连的同态的复合为0: $d_{n}\circ d_{n+1}=0$对于所有$n$成立。这意味着第$n+1$个映射的像包含在第$n$个映射的核中，我们定义$X$的$n$阶同调群为商群（商模）

$H_{n}(X)=\mathrm {ker} (d_{n})/\mathrm {im} (d_{n+1}).$

链复形称为正合的，如果（$n+1$）阶映射的像总是等于$n$阶映射的核。因此$X$的同调群是衡量$X$所关联的链复形离正合有“多远”的障碍。

非正式的例子

非正式地，拓扑空间X的同调是X的拓扑不变量的集合，用其同调群来表示

$H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots$

其中第$k$个同调群$H_{k}(X)$描绘了$X$中的$k$维圈 (cycle)，实现为$k+1$维圆盘边界 (boundary) 的障碍。0维同调群刻画了两个零维圈，也即点，实现成一维圆盘，也即线段的边界的障碍，因此$H_{0}(X)$刻画了$X$中的道路连通分支。

圆，或称为1维球面$S^{1}$

一维球面 $S^{1}$是一个圆。它有一个连通分支和一个一维圈，但没有更高维圈。其对应的同调群由下式给出

$H_{k}(S^{1})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\0&k\neq 0,1\end{cases}}$

其中$\mathbb {Z}$表示整数加群，$0$表示平凡群。$H_{1}(S^{1})\cong \mathbb {Z}$表示$S^{1}$的一阶同调群为由一个元素生成的有限生成阿贝尔群，其唯一的生成元表示圆中包含的一维圈。

2维球面$S^{2}$即球的球壳，不包括球的内部。

二维球面$S^{2}$有一个连通分支，零个一维圈，一个二维圈（即球面），无更高维的圈，其对应的同调群为

$H_{k}(S^{2})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\0&k\neq 0,2\end{cases}}$

一般地，对$n$维球面$S^{n}$，其同调群为

$H_{k}(S^{n})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\0&k\neq 0,n\end{cases}}$

实心圆盘，即2维球$B^{2}$

二维实心球$B^{2}$有一个道路连通分支，但与圆不同的是，$B^{2}$没有一维或更高维的圈，其对应的同调群除了零阶同调群$H_{0}(B^{2})\cong \mathbb {Z}$以外，其余阶的同调群均为平凡群。

环面$T=S^{1}\times S^{1}$

环面被定义为两个圆$T^{2}=S^{1}\times S^{1}$的笛卡尔积。环面有一个道路连通分支，两个独立的一维圈（在图中以红圈和蓝圈分别标出），以及一个二维圈（环面的内部）。其对应的同调群为

$H_{k}(T^{2})\cong {\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\0&k\geq 3\end{cases}}$

两个独立的一维圈组成了一组有限生成阿贝尔群的独立生成元，表示为笛卡尔积群$\mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$.

例子

引入同调的概念可以用单纯复形$X$的单纯同调：设$C_{n}$为$X$中的$n$维可定向单纯形生成的自由交换群或者模，映射$\partial _{n}:C_{n}\rightarrow C_{n+1}$映射称为边缘映射 (boundary map)，它将$n$维单纯形

$\sigma :\Delta ^{n}\rightarrow X$

映射为如下交错和

$\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma |_{[e_{0},\ldots ,e_{i-1},e_{i+1},\ldots ,e_{n}]}.$

，其中$\sigma |_{[e_{0},\cdots ,e_{i-1},e_{i+1},\cdots ,e_{n}]}$表示$\sigma$限制在$e_{0},\cdots ,e_{i-1},e_{i+1},\cdots ,e_{n}$对应的面 (face)上。如果我们将模取在一个域上，则$X$的$n$阶同调的维数就是$X$中$n$维圈的个数。

仿照单纯同调群，可以定义任何拓扑空间$X$的奇异同调群。我们定义$X$的上同调的链复形中的空间为$A_{n}$为自由交换群（或者自由模），其生成元为所有从$n$为单纯形到$X$的连续函数。同态$d_{n}$从单纯形的边缘映射得到。

同调代数中，同调用于定义导出函子，例如，Tor函子。这里，我们可以从某个可加协变函子$F$和某个模$X$开始。$X$的链复形定义如下：首先找到一个自由模$F_{1}$和一个满同态$p_{1}:F_{1}\rightarrow X$。然后找到一个自由模$F_{2}$和一个满同态$p_{2}:F_{2}\rightarrow \mathrm {ker} (p_{1})$。以该方式继续，得到一个自由模$F_{n}$和同态$p_{n}$的序列。将函子$F$应用于这个序列，得到一个链复形；这个复形的同调$H_{n}$仅依赖于$F$和$X$，并且按定义就是$F$作用于$X$的n阶导出函子。

同调函子

链复形构成一个范畴：从链复形$(d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})$到链复形$(e_{n}:B_{n}\rightarrow B_{n-1})$的态射是一个同态的序列$(f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n})$，满足$f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n-1}\circ f_{n}$对于所有$n$成立。$n$阶同调 $H_{n}$可以视为一个从链复形的范畴到可换群（或者模）的范畴的协变函子。

若链复形以协变的方式依赖于对象$X$（也就是任何态射$X\rightarrow Y$诱导出一个从$X$的链复形到$Y$的链复形的态射），则$H_{n}$是从$X$所属的范畴到可换群（或模）的范畴的函子。

同调和上同调的唯一区别是上同调中的链复形以逆变方式依赖于$X$，因此其同调群（在这个情况下称为上同调群并记为$H^{n}$）构成从$X$所属的范畴到可换群或者模的范畴的逆变函子。

性质

若$(d_{n}:A_{n}\rightarrow A_{n-1})$是链复形，满足出有限个$A_{n}$外所有项都是零，而非零的都是有限生成可换群（或者有限维向量空间），则可以定义欧拉示性数

$\chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})$

（可换群采用阶而向量空间的情况采用哈默尔维数）。事实上在同调水平上也可以计算欧拉示性数:

$\chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})$

特别地，在代数拓扑中，欧拉示性数$\chi$是拓扑空间的重要不变量。

此外，每个链复形的短正合序列

$0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0$

诱导一个同调群的长正合序列

$\cdots \rightarrow H_{n}(A)\rightarrow H_{n}(B)\rightarrow H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)\rightarrow H_{n-1}(B)\rightarrow H_{n-1}(C)\rightarrow H_{n-2}(A)\rightarrow \cdots \,$

这个长正合序列中的所有映射由链复形间的映射导出，除了映射$H_{n}(C)\rightarrow H_{n-1}(A)$之外。后者称为连接同态，由蛇引理给出。

参看

• 奇异同调
• 上同调
• 同调论
• 同调代数

参考文献

• Hatcher, A. Algebraic Topology. Cambridge University Press. 2002 [2021-11-18]. ISBN 0-521-79540-0. （原始内容存档于2018-05-15）.  有仔细讨论单复形、流形的同调论、奇异同调等。
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (编). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. 2010. ISBN 9781400830398. 
• Spanier, Edwin H. Algebraic Topology. Springer. 1966: 155. ISBN 0-387-90646-0.