去趋势波动分析

在随机过程， 混沌理论和时间序列分析中， 去趋势波动分析（英文：Detrended Fluctuation Analysis, DFA）是一种判断信号的统计自相似性质的方法。 它可以用于分析类似长记忆过程的时间序列（以发散的相关时间为特征，例如幂率衰减的自相关函数）或1/f噪音。

所获得的指数类似于Hurst指数，但去趋势波动分析还可以应用于非平稳信号，即信号的统计量（例如平均值和方差）或动态是不固定的（随时间变化）。 它与基于谱分析的方法有关，如自相关函数和傅里叶变换。

Peng等人于1994年发表论文提出了这种方法，至2013年该论文已获超过2000次引用。这种方法是（一般性）波动分析的拓展，特别用于处理非平稳信号。

计算方法

给定一个受约束的时间序列$x_{t}$，其长度为$N$, 其中 $t\in \mathbb {N}$。首先对其做积分或求和，化为无约束过程$X_{t}$:

$X_{t}=\sum _{i=1}^{t}(x_{i}-\langle x\rangle )$

其中$\langle x\rangle$代表时间序列的均值。$X_{t}$称为累积和。这个过程会将独立同分布的白噪声变换为随机游走。

接下来，将$X_{t}$分为不同长度的时间窗口，窗口长度记为$n$，然后在每个时间窗口内最小化平方误差，得到局部最小二乘的拟合直线（局部趋势）。令$Y_{t}$代表得到的拟合直线序列。接着计算与趋势的均方根偏差，即波动，如下：

$F(n)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}\left(X_{t}-Y_{t}\right)^{2}}}.$

最后，将这个去趋势、波动分析的过程对不同的窗口大小$n$重复计算，得到$F(n)$关于$n$的双对数坐标图。