泊松分布
概率质量函数
横轴是索引k ,发生次数。该函数只定义在k 为整数的时候。连接线是只为了指导视觉。
累积分布函数
横轴是索引k ,发生次数。CDF在整数k 处不连续,且在其他任何地方都是水平的,因为服从泊松分布的变量只针对整数值。 参数
λ > 0(实数 ) 值域
k
∈
{
0
,
1
,
2
,
3
,
⋯
}
{\displaystyle k\in \{0,1,2,3,\cdots \}}
概率质量函数
λ
k
k
!
e
−
λ
{\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}
累积分布函数
Γ
(
⌊
k
+
1
⌋
,
λ
)
⌊
k
⌋
!
{\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}}}
,或
e
−
λ
∑
i
=
0
⌊
k
⌋
λ
i
i
!
{\displaystyle e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{i}}{i!}}\ }
,或
Q
(
⌊
k
+
1
⌋
,
λ
)
{\displaystyle Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}
(对于
k
≥
0
{\displaystyle k\geq 0}
,其中
Γ
(
x
,
y
)
{\displaystyle \Gamma (x,y)}
是不完全Γ函数 ,
⌊
k
⌋
{\displaystyle \lfloor k\rfloor }
是高斯符号 ,Q是规则化Γ函数) 期望
λ
{\displaystyle \lambda }
中位数
≈
⌊
λ
+
1
/
3
−
0.02
/
λ
⌋
{\displaystyle \approx \lfloor \lambda +1/3-0.02/\lambda \rfloor }
众数
⌈
λ
⌉
−
1
,
⌊
λ
⌋
{\displaystyle \lceil \lambda \rceil -1,\lfloor \lambda \rfloor }
方差
λ
{\displaystyle \lambda }
偏度
λ
−
1
/
2
{\displaystyle \lambda ^{-1/2}}
峰度
λ
−
1
{\displaystyle \lambda ^{-1}}
熵
λ
[
1
−
log
(
λ
)
]
+
e
−
λ
∑
k
=
0
∞
λ
k
log
(
k
!
)
k
!
{\displaystyle \lambda [1-\log(\lambda )]+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}}
(假设
λ
{\displaystyle \lambda }
较大)
1
2
log
(
2
π
e
λ
)
−
1
12
λ
−
1
24
λ
2
−
{\displaystyle {\frac {1}{2}}\log(2\pi e\lambda )-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}-}
19
360
λ
3
+
O
(
1
λ
4
)
{\displaystyle \qquad {\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+O\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)}
矩生成函数
exp
(
λ
(
e
t
−
1
)
)
{\displaystyle \exp(\lambda (e^{t}-1))}
特征函数
exp
(
λ
(
e
i
t
−
1
)
)
{\displaystyle \exp(\lambda (e^{it}-1))}
概率母函数
exp
(
λ
(
z
−
1
)
)
{\displaystyle \exp(\lambda (z-1))}
泊松分布 (法语:loi de Poisson ;英语:Poisson distribution )又称Poisson分布 、帕松分布 、布瓦松分布 、布阿松分布 、普阿松分布 、波以松分布 、卜氏分布 、帕松小数法则 (Poisson law of small numbers),是一种统计 与概率 学里常见到的离散概率分布 ,由法国 数学家西莫恩·德尼·泊松 在1838年时发表。
泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数,电话交换机 接到呼叫的次数、汽车站台的候客人数、机器出现的故障数、自然灾害 发生的次数、DNA序列的变异数、放射性原子核的衰变数、激光 的光子数分布等等。(单位时间内发生的次数,可以看作事件发生的频率,类似物理的频率
f
{\displaystyle f}
)。
泊松分布的概率质量函数 为:
P
(
X
=
k
)
=
e
−
λ
λ
k
k
!
{\displaystyle P(X=k)={\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}}
泊松分布的参数
λ
{\displaystyle \lambda }
是随机事件发生次数的数学期望。
记号
若
X
{\displaystyle X}
服从参数为
λ
{\displaystyle \lambda }
的泊松分布,记为
X
∼
π
(
λ
)
{\displaystyle X\sim \pi (\lambda )}
,或记为
X
∼
Poisson
(
λ
)
{\displaystyle X\sim {\text{Poisson}}(\lambda )}
.
性质
1、服从泊松分布的随机变量 ,其数学期望 与方差 相等,同为参数
λ
{\displaystyle \lambda }
:
E
(
X
)
=
V
(
X
)
=
λ
{\displaystyle E(X)=V(X)=\lambda }
2、两个独立且服从泊松分布的随机变量 ,其和仍然服从泊松分布。更精确地说,若
X
∼
Poisson
(
λ
1
)
{\displaystyle X\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{1})}
且
Y
∼
Poisson
(
λ
2
)
{\displaystyle Y\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{2})}
,则
X
+
Y
∼
Poisson
(
λ
1
+
λ
2
)
{\displaystyle X+Y\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{1}+\lambda _{2})}
。反过来若两个独立随机变量的和服从泊松分布,则这两个随机变量经平移后皆服从泊松分布(Raikov定理 )。
3、其矩母函数 为:
M
X
(
t
)
=
E
[
e
t
X
]
=
∑
x
=
0
∞
e
t
x
e
−
λ
λ
x
x
!
=
e
−
λ
∑
x
=
0
∞
(
e
t
λ
)
x
x
!
=
e
λ
(
e
t
−
1
)
{\displaystyle M_{X}(t)=E[e^{tX}]=\sum _{x=0}^{\infty }e^{tx}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{x}}{x!}}=e^{-\lambda }\sum _{x=0}^{\infty }{\frac {({e^{t}}\lambda )^{x}}{x!}}=e^{{\lambda }(e^{t}-1)}}
推导
期望:(倒数第三至第二是使用泰勒展开式 )
E
(
X
)
=
∑
i
=
0
∞
i
P
(
X
=
i
)
=
∑
i
=
1
∞
i
e
−
λ
λ
i
i
!
=
λ
e
−
λ
∑
i
=
1
∞
λ
i
−
1
(
i
−
1
)
!
=
λ
e
−
λ
∑
i
=
0
∞
λ
i
i
!
=
λ
e
−
λ
e
λ
=
λ
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} (X)&=\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle iP(X=i)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle i{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }\\&=\lambda \end{aligned}}}
E
(
X
2
)
=
∑
i
=
0
∞
i
2
P
(
X
=
i
)
=
∑
i
=
1
∞
i
2
e
−
λ
λ
i
i
!
=
λ
e
−
λ
∑
i
=
1
∞
i
λ
i
−
1
(
i
−
1
)
!
=
λ
e
−
λ
∑
i
=
1
∞
1
(
i
−
1
)
!
d
d
λ
(
λ
i
)
=
λ
e
−
λ
d
d
λ
[
∑
i
=
1
∞
λ
i
(
i
−
1
)
!
]
=
λ
e
−
λ
d
d
λ
[
λ
∑
i
=
1
∞
λ
i
−
1
(
i
−
1
)
!
]
=
λ
e
−
λ
d
d
λ
(
λ
e
λ
)
=
λ
e
−
λ
(
e
λ
+
λ
e
λ
)
=
λ
+
λ
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} (X^{2})&=\sum _{i=0}^{\infty }\displaystyle i^{2}P(X=i)\\&=\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle i^{2}{e^{-\lambda }\lambda ^{i} \over i!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {i\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\\&=\lambda e^{-\lambda }\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {1 \over (i-1)!}{d \over d\lambda }(\lambda ^{i})\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }\left[\lambda \sum _{i=1}^{\infty }\displaystyle {\lambda ^{i-1} \over (i-1)!}\right]\\&=\lambda e^{-\lambda }{d \over d\lambda }(\lambda e^{\lambda })=\lambda e^{-\lambda }(e^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })=\lambda +\lambda ^{2}\end{aligned}}}
我们可以得到:
V
a
r
(
X
)
=
(
λ
+
λ
2
)
−
λ
2
=
λ
{\displaystyle Var(X)=(\lambda +\lambda ^{2})-\lambda ^{2}=\lambda }
如同性质:
E
(
X
)
=
V
a
r
(
X
)
=
λ
{\displaystyle E(X)=Var(X)=\lambda }
、
σ
X
=
λ
{\displaystyle \sigma _{X}={\sqrt {\lambda }}}
相互独立的泊松分布随机变量之和仍服从泊松分布:
X
∼
Poisson
(
λ
1
)
,
Y
∼
Poisson
(
λ
2
)
.
{\displaystyle X\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{1}),Y\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{2}).}
P
(
X
=
k
1
)
=
λ
1
k
1
e
−
λ
1
k
1
!
,
P
(
Y
=
k
2
)
=
λ
2
k
2
e
−
λ
2
k
2
!
.
{\displaystyle P(X=k_{1})={\dfrac {\lambda _{1}^{k_{1}}e^{-\lambda _{1}}}{k_{1}!}},P(Y=k_{2})={\dfrac {\lambda _{2}^{k_{2}}e^{-\lambda _{2}}}{k_{2}!}}.}
P
(
X
+
Y
=
k
)
=
∑
i
=
0
k
P
(
X
=
i
)
P
(
Y
=
k
−
i
)
=
∑
i
=
0
k
λ
1
i
λ
2
k
−
i
e
−
(
λ
1
+
λ
2
)
i
!
(
k
−
i
)
!
=
e
−
(
λ
1
+
λ
2
)
k
!
∑
i
=
0
k
C
k
i
λ
1
i
λ
2
k
−
i
=
e
−
(
λ
1
+
λ
2
)
(
λ
1
+
λ
2
)
k
k
!
{\displaystyle {\begin{aligned}P(X+Y=k)&=\sum _{i=0}^{k}P(X=i)P(Y=k-i)\\&=\sum _{i=0}^{k}{\frac {\lambda _{1}^{i}\lambda _{2}^{k-i}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}{i!(k-i)!}}\\&={\frac {e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}}{k!}}\sum _{i=0}^{k}C_{k}^{i}\lambda _{1}^{i}\lambda _{2}^{k-i}\\&={\frac {e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})}(\lambda _{1}+\lambda _{2})^{k}}{k!}}\end{aligned}}}
X
+
Y
∼
Poisson
(
λ
1
+
λ
2
)
{\displaystyle X+Y\sim {\text{Poisson}}(\lambda _{1}+\lambda _{2})}
泊松分布的来源(泊松小数定律)
在二项分布 的伯努利试验 中,如果试验次数
n
{\displaystyle n}
很大,二项分布的概率
p
{\displaystyle p}
很小,且乘积
λ
=
n
p
{\displaystyle \lambda =np}
比较适中,则事件出现的次数的概率可以用泊松分布来逼近。事实上,二项分布可以看作泊松分布在离散时间上的对应物。
证明如下。首先,回顾自然对数
e
{\displaystyle e}
的定义:
lim
n
→
∞
(
1
−
λ
n
)
n
=
e
−
λ
,
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n}=e^{-\lambda },}
二项分布的定义:
P
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle P(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}
。
如果令
p
=
λ
n
{\displaystyle p={\frac {\lambda }{n}}}
,
n
{\displaystyle n}
趋于无穷时
P
{\displaystyle P}
的极限:
lim
n
→
∞
P
(
X
=
k
)
=
lim
n
→
∞
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
=
lim
n
→
∞
n
!
(
n
−
k
)
!
k
!
(
λ
n
)
k
(
1
−
λ
n
)
n
−
k
=
lim
n
→
∞
[
n
!
n
k
(
n
−
k
)
!
]
⏟
F
(
λ
k
k
!
)
(
1
−
λ
n
)
n
⏟
→
exp
(
−
λ
)
(
1
−
λ
n
)
−
k
⏟
→
1
=
lim
n
→
∞
[
(
1
−
1
n
)
(
1
−
2
n
)
…
(
1
−
k
−
1
n
)
]
⏟
→
1
(
λ
k
k
!
)
(
1
−
λ
n
)
n
⏟
→
exp
(
−
λ
)
(
1
−
λ
n
)
−
k
⏟
→
1
=
(
λ
k
k
!
)
exp
(
−
λ
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }P(X=k)&=\lim _{n\to \infty }{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{n! \over (n-k)!k!}\left({\lambda \over n}\right)^{k}\left(1-{\lambda \over n}\right)^{n-k}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[{\frac {n!}{n^{k}\left(n-k\right)!}}\right]} _{F}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\lim _{n\to \infty }\underbrace {\left[\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\left(1-{\frac {2}{n}}\right)\ldots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)\right]} _{\to 1}\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}} _{\to \exp \left(-\lambda \right)}\underbrace {\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{-k}} _{\to 1}\\&=\left({\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\right)\exp \left(-\lambda \right)\end{aligned}}}
最大似然估计(MLE)
给定
n
{\displaystyle n}
个样本值
k
i
{\displaystyle k_{i}}
,希望得到从中推测出总体的泊松分布参数
λ
{\displaystyle \lambda }
的估计。为计算最大似然估计 值,列出对数似然函数:
L
(
λ
)
=
ln
∏
i
=
1
n
f
(
k
i
∣
λ
)
=
∑
i
=
1
n
ln
(
e
−
λ
λ
k
i
k
i
!
)
=
−
n
λ
+
(
∑
i
=
1
n
k
i
)
ln
(
λ
)
−
∑
i
=
1
n
ln
(
k
i
!
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L(\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}}
d
d
λ
L
(
λ
)
=
0
⟺
−
n
+
(
∑
i
=
1
n
k
i
)
1
λ
=
0.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}L(\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!}
解得λ 从而得到一个驻点 (stationary point):
λ
^
M
L
E
=
1
n
∑
i
=
1
n
k
i
.
{\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}.\!}
检查函数
L
{\displaystyle L}
的二阶导数,发现对所有的
λ
{\displaystyle \lambda }
与
k
i
{\displaystyle k_{i}}
大于零的情况二阶导数都为负。因此求得的驻点是对数似然函数
L
{\displaystyle L}
的极大值点:
∂
2
L
∂
λ
2
=
∑
i
=
1
n
−
λ
−
2
k
i
{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}L}{\partial \lambda ^{2}}}=\sum _{i=1}^{n}-\lambda ^{-2}k_{i}}
例子
对某公共汽车站的客流做调查,统计了某天上午10:30到11:47来到候车的乘客情况。假定来到候车的乘客各批(每批可以是1人也可以是多人)是互相独立发生的。观察每20秒区间来到候车的乘客批次,共观察77分钟*3=231次,共得到230个观察记录。其中来到0批、1批、2批、3批、4批及4批以上的观察记录分别是100次、81次、34次、9次、6次。使用极大似真估计(MLE),得到
λ
{\displaystyle \lambda }
的估计为
81
×
1
+
34
×
2
+
9
×
3
+
6
×
4
230
≈
0.87
{\displaystyle {\frac {81\times 1+34\times 2+9\times 3+6\times 4}{230}}\approx 0.87}
。
生成泊松分布的随机变量
一个用来生成随机泊松分布的数字(伪随机数抽样)的简单算法,已经由高德纳 给出(见下文参考):
algorithm poisson random number (Knuth) :
init :
Let L ← e −λ , k ← 0 and p ← 1.
do :
k ← k + 1.
Generate uniform random number u in [0,1] and let p ← p×u.
while p > L.
return k − 1.
尽管简单,但复杂度是线性的,在返回的值
k
{\displaystyle k}
,平均是
λ
{\displaystyle \lambda }
。还有许多其他算法来克服这一点。有些人由Ahrens和Dieter给出,请参阅下面的参考资料。同样,对于较大的
λ
{\displaystyle \lambda }
值,
e
−
λ
{\displaystyle e^{-\lambda }}
可能导致数值稳定性问题。对于较大
λ
{\displaystyle \lambda }
值的一种解决方案是拒绝采样 ,另一种是采用泊松分布的高斯近似。
对于很小的
λ
{\displaystyle \lambda }
值,逆变换取样简单而且高效,每个样本只需要一个均匀随机数u。直到有超过
u
{\displaystyle u}
的样本,才需要检查累积概率。
algorithm Poisson generator based upon the inversion by sequential search :[ 1]
init :
Let x ← 0, p ← e −λ , s ← p.
Generate uniform random number u in [0,1].
do :
x ← x + 1.
p ← p * λ / x.
s ← s + p.
while u > s.
return x.
参见
参考文献
引用
来源
Guerriero V. Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics . Journal of Modern Mathematics Frontier (JMMF). 2012, 1 : 21–28 [2017-10-30 ] . (原始内容 存档于2018-02-21).
Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter. Computer Methods for Sampling from Gamma, Beta, Poisson and Binomial Distributions. Computing. 1974, 12 (3): 223–246. doi:10.1007/BF02293108 .
Joachim H. Ahrens, Ulrich Dieter. Computer Generation of Poisson Deviates . ACM Transactions on Mathematical Software. 1982, 8 (2): 163–179. doi:10.1145/355993.355997 .
Ronald J. Evans, J. Boersma, N. M. Blachman, A. A. Jagers. The Entropy of a Poisson Distribution: Problem 87-6. SIAM Review. 1988, 30 (2): 314–317. doi:10.1137/1030059 .
Donald E. Knuth. Seminumerical Algorithms. The Art of Computer Programming. Volume 2. Addison Wesley . 1969.