切比雪夫不等式

此条目的主题是概率论的切比雪夫不等式。关于牵涉到级数的不等式，请见“切比雪夫总和不等式”。

切比雪夫不等式（英语：Chebyshev's Inequality），是概率论中的一个不等式，显示了随机变量的“几乎所有”值都会“接近”平均。在20世纪30年代至40年代刊行的书中，其被称为比奈梅不等式（Bienaymé Inequality）或比奈梅-切比雪夫不等式（Bienaymé-Chebyshev Inequality）。切比雪夫不等式对任何分布数据都适用。

切比雪夫不等式可表示为以下形式：对于任何随机变量 $X$ 和实数 $b>0$，都有 $P(|X-E(X)|\geq b)\leq {\frac {Var(X)}{b^{2}}}$，其中 $E(X)$ 表示 $X$ 的数学期望，$Var(X)$ 为 $X$ 的方差。

概念

这个不等式以数量化这方式来描述，究竟“几乎所有”是多少，“接近”又有多接近：

• 与平均相差2个标准差以上的值，数目不多于1/4
• 与平均相差3个标准差以上的值，数目不多于1/9
• 与平均相差4个标准差以上的值，数目不多于1/16

……

• 与平均相差k个标准差以上的值，数目不多于1/k²

举例说，若一班有36个学生，而在一次考试中，平均分是80分，标准差是10分，我们便可得出结论：少于50分或多于110分（与平均相差3个标准差以上）的人，数目不多于4个（=36*1/9）。
公式：$P(\mu -k\sigma <X<\mu +k\sigma )\geq 1-{\frac {1}{k^{2}}}$

推论

测度论说法

设(X,Σ,μ)为一测度空间，f为定义在X上的广义实值可测函数。对于任意实数t > 0，

$\mu (\{x\in X\,:\,\,|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t^{2}}\int _{X}f^{2}\,d\mu .$

一般而言，若g是非负广义实值可测函数，在f的定义域非降，则有

$\mu (\{x\in X\,:\,\,f(x)\geq t\})\leq {1 \over g(t)}\int _{X}g\circ f\,d\mu .$

上面的陈述，可透过以|f|取代f，再取如下定义而得：

$g(t)={\begin{cases}t^{2}&{\mbox{if }}t\geq 0\\0&{\mbox{otherwise,}}\end{cases}}$

概率论说法

设$X$为随机变量，期望为$\mu$，标准差为$\sigma$。对于任何实数k>0，

$\Pr(\left|X-\mu \right|\geq k\sigma )\leq {\frac {1}{k^{2}}}.$

改进

一般而言，切比雪夫不等式给出的上界已无法改进。考虑下面例子：

$\Pr(X=1)=\Pr(X=-1)=1/(2k^{2})$

$\Pr(X=0)=1-1/k^{2}$

这个分布的标准差$\sigma =1/k$，$\mu =0$。

对于任意分布形态的数据，根据切比雪夫不等式，至少有 $1-1/k^{2}$ 的数据落在k个标准差之内。其中k>1，但不一定是整数。

当只求其中一边的值的时候，有Cantelli不等式：

$\Pr(X-\mu \geq k\sigma )\leq {\frac {1}{1+k^{2}}}.$[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

证明

定义$~A_{t}:=\{x\in X\mid f(x)\geq t\}$，设$1_{A_{t}}$为集$~A_{t}$的指示函数，有

$0\leq g(t)1_{A_{t}}\leq g\circ f\,1_{A_{t}}\leq g\circ f,$

$g(t)\mu (A_{t})=\int _{X}g(t)1_{A_{t}}\,d\mu \leq \int _{A_{t}}g\circ f\,d\mu \leq \int _{X}g\circ f\,d\mu .$

又可从马尔可夫不等式直接证明：马氏不等式说明对任意随机变量Y和正数a有$\Pr(|Y|>a)\leq \operatorname {E} (|Y|)/a$。取$Y=(X-\mu )^{2}$及$a=(k\sigma )^{2}$。

亦可从概率论的原理和定义开始证明：

$\Pr(|X-\mu |\geq k\sigma )=\operatorname {E} (I_{|X-\mu |\geq k\sigma })=\operatorname {E} (I_{[(X-\mu )/(k\sigma )]^{2}\geq 1})$

$\leq \operatorname {E} \left(\left({X-\mu \over k\sigma }\right)^{2}\right)={1 \over k^{2}}{\operatorname {E} ((X-\mu )^{2}) \over \sigma ^{2}}={1 \over k^{2}}.$

参见

• 马尔可夫不等式
• 弱大数定律
• 大数定律

参考来源

• 《基本统计学 观念与应用二版》，林惠玲 陈正仓 著
• 《应用统计学 第四版》 修订版，林惠玲 陈正仓 著