克劳修斯-莫索提方程式(Clausius-Mossotti equation)表达了线性介电质的极化性和相对电容率之间的关系,是因意大利物理学者莫索提(Ottaviano-Fabrizio Mossotti)和德国物理学者鲁道夫·克劳修斯而命名[1][2]。这方程式也可以更改为表达极化性和折射率之间的关系,此时称为洛伦兹-洛伦茨方程式(Lorentz-Lorenz equation)。
极化性是一种微观属性,而相对电容率则是在介电质内部的一种巨观属性,所以,这方程式式连结了介电质关于电极化的微观属性与巨观属性。
导引
一个分子的极化性定义为[3]
- ;
其中,是分子的感应电偶极矩,是作用于分子的电场。
介电质的电极化强度定义为总电偶极矩每单位面积:
- ;
其中,是电极化强度,是检验位置,、分别是分子 的数量每单位面积与电偶极矩。
总合介电质内每一种分子的贡献,就可以计算出介电质的电极化强度。将极化性的定义式代入,可以得到
- 。
当计算这方程式时,必需先知道在分子位置的电场,称为“局域电场”。介电质内部的微观电场,从一个位置到另外位置,其变化可能会相当剧烈,在电子或质子附近,电场很大,距离稍微远一点,电场呈平方反比减弱。所以,很难计算这么复杂的电场的物理行为。幸运地是,对于大多数计算,并不需要这么详细的描述。所以,只要选择一个足够大的区域(例如,体积为、内中含有上千个分子的圆球体)来计算微观电场的平均值,称为“巨观电场”,就可以足够准确地计算出巨观物理行为:
- 。
对于稀薄介电质,分子与分子之间的距离相隔很远,邻近分子的贡献很小,局域电场可以近似为巨观电场 :
- 。
但对于致密介电质,分子与分子之间的距离相隔很近,邻近分子的贡献很大,必需将邻近分子的贡献纳入考量:
- 。
因为巨观电场已经包括了电极化所产生的电场(称为“去极化场”),为了不重复计算,在计算时,必需将邻近分子的真实贡献减掉去极化场:
- 。
举一个简单案例,根据洛伦兹关系(Lorentz Relation),对于立方晶系结构的晶体或各向同性的介电质,由于高度的对称性,
。
现在思考以分子位置为圆心、体积为的圆球体,感受到外电场的作用,内部的束缚电荷会被电极化,从而产生电极化强度。假设在内部的电极化强度相当均匀,则电极化强度与的电偶极矩之间的关系为
- 。
这线性均匀介电质圆球体内部的电场为[4]
- 。
综合前面得到的结果:
- 。
对于各向同性、线性、均匀的介电质,电极化率定义为
- 。
电极化率与极化性的关系为
- 。
由于相对电容率与电极化率的关系为
- 。
所以,电容率与极化性的关系为
- 。
这方程式就是克劳修斯-莫索提方程式。
电介质的折射率为
- ;
其中,是相对磁导率。
对于大多数介电质,,所以,折射率近似为 。将折射率带入克劳修斯-莫索提方程式,就可以给出洛伦兹-洛伦茨方程式[5]:
- 。
参考文献
- ^ O. F. Mossotti, Discussione analitica sull’influenza che l’azione di un mezzo dielettrico ha sulla distribuzione dell’elettricità alla superficie di più corpi elettrici disseminati in esso, Memorie di Mathematica e di Fisica della Società Italiana della Scienza Residente in Modena, vol. 24, p. 49-74 (1850)
- ^ R. Clausius, Abhandlungen über die mechanische Wärmetheorie, vol. 2, p. 143, Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig (1867).
- ^ Griffiths, David J., Introduction to Electrodynamics (3rd ed.), Prentice Hall: pp. 161, 1998, ISBN 0-13-805326-X
- ^ Kittel, Charles, Introduction to Solid State Physics 8th, USA: John Wiley & Sons, Inc.: pp. 460–465, 2005, ISBN 978-0-471-41526-8
- ^ 费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修, 費曼物理學講義II (4)電磁與物質, 台湾: 天下文化书: pp. 177ff, 2006, ISBN 978-986-216-476-1