傅利曼数

傅利曼数（Friedman number）是在给定的进位制中，能够用组成数字透过四则运算、括号和幂组成式子，结果是自己的数。例如347是傅利曼数因为$347=7^{3}+4\,\!$。

十进制中，一千以内的傅利曼数为25, 121, 125, 126, 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736（OEIS:A036057）。

在不同的进位制，傅利曼数都有无限个（Trevor Green）。

在数位前增加0或使用括号括起一整个数作为解答是不允许，因为任何数也能做到，例如$001729=1700+29\,\!$或$24=(24)\,\!$。

观察到5的幂大多是傅利曼数，便可找到一连串的傅利曼数。Friedman给出的例子是$250068=500^{2}+68\,\!$，于是找到250010至250099均为傅利曼数。

好傅利曼数

若那个数的组成式子可以依数字的顺序，就说那个数是好傅利曼数。例如$127=-1+2^{7}\,\!$、$343=(3+4)^{3}$。少于10000的好傅利曼数都要用上加法和减法，它们是127, 343, 736, 1285, 2187, 2502, 2592, 2737, 3125, 3685, 3864, 3972, 4096, 6455（OEIS:A080035）。

循环整数

显然易见，任何傅利曼数兼循环整数，都是好傅利曼数。

十进制中最小的傅利曼数兼循环整数可能是$99999999=(9+{9 \over 9})^{9-{9 \over 9}}-{9 \over 9}\,\!$（Fondanaiche）。

所有进位制中的超过24位的循环整数均为傅利曼数（Brandon Owens）。

找寻傅利曼数所用的算法

在任何给定进位制中，两位的傅利曼数比三位的少，但较为易找。将一个两位数表示成$mb+n\,\!$，当中$b\,\!$是底，$m,n\,\!$是0至$b-1\,\!$的整数，检查它们是否符合$mb+n=mn\quad m+n=m^{n}\quad mb+n=n^{m}$其中一条，便可以知道这个数是否傅利曼数。当去到较高的位数，只需增加要检查的等式数量即可。

罗马数字中傅利曼数

若规则不变，所有罗马数字均为傅利曼数。它们都可以用加号或减号连结起来。因此Erich Friedman 和Robert Happleberg都研究过不只使用加和减的式子，第一个好傅利曼数为8，$VIII=(V-I)\times II$；除此之外亦有用到幂的如$256=CCLVI=IV^{CC \over L}\,\!$。

找寻这类傅利曼数的难处不在于数的增大，而在于使用的罗马数字符号的增加。

外部链接

• Friedman Numbers, at Dr. Erich Friedman's home page （页面存档备份，存于互联网档案馆）（英语）