交换律

交换律（英语：Commutative property）是被普遍使用的一个数学名词，意指能改变某物的顺序而不改变其最终结果。交换律是大多数数学分支中的基本性质，而且许多的数学证明需要倚靠交换律。简单运算的交换律许久都被假定存在，且没有给定其一特定的名称，直到19世纪，数学家开始形式化数学理论之后，交换律才得到正式的定义^[1]^[2]。

一般用法

交换律是一个和二元运算及函数有关的性质。而若交换律对一特定二元运算下的一对元素成立，则称这两个元素为在此运算下是“可交换”的。

在群论和集合论中，许多的代数结构被称做是可交换的，若其中的运算域满足交换律。在数学分析和线性代数中，一些知名的运算（如实数及复数上的加法和乘法）的交换律会经常被用于（或假定存在于）证明之中。^[3]^[4]^[5]

数学定义

“可交换”一词被使用于如下几个相关的概念中^[6]^[7]：

1. 在集合 $S$ 的一二元运算 $*$ 被称之为“可交换”的，若：

\forall x,y\in S,x*y=y*x

一个不满足上述性质的运算则称之为“不可交换”的。

2. 若称 $x$ 在 $*$ 下和 $y$ “可交换”，即表示：

x*y=y*x

3. 一二元函数 $f:A\times A\to B$ 被称之为“可交换”的，若：

\forall x,y\in A,f(x,y)=f(y,x)

.

历史

对交换律假定存在的应用早在很久之前便已有所记戴。埃及人用乘法的交换律来简化乘积的计算。^[8]^[9]且知欧几里得在《几何原本》中已有假定了乘法交换律的存在。^[10]对交换律形式上的应用产生于18世纪末19世纪初，那时数学家开始在研究函数的理论。今日，交换律已被普遍认知，且在大多数的数学分支中被当做基本性质来使用。交换律的简易版本通常会在初等数学教程中被教导。

第一个使用“可交换（commutative）”一词的是 Francois Servois 于1814年写下的笔记^[11]^[12]，这一词在笔记中被用来指有着现在称之为交换律的函数。这一词首次出现于英语中的是在1844年的英国皇家学会哲学汇刊中。^[11]

例子

日常生活中的可交换运算

洗一双鞋子可类比为一可交换运算，因为不论是左边的鞋子先洗，还是右边的鞋子先洗，最终的结果（两只鞋子都洗好）是一样的。
成语“朝三暮四”也可看做是可交换运算的一个例子。

数学中的可交换运算

两个广为人知的可交换二元运算的例子为^[6]：

实数的加法

y+z=z+y\quad \forall y,z\in \mathbb {R}

例如，

4+5=5+4

，两个表示式都等于 9 。

实数的乘法

yz=zy\quad \forall y,z\in \mathbb {R}

例如，

3\times 5=5\times 3

，两者都等于 15 。

更多可交换二元运算的例子包括复数的乘法、向量的加法、和集合的交集与并集。

日常生活中的不可交换运算

洗衣和干衣可类比成不可交换运算，因为先干衣再洗衣和先洗衣再干衣两者会得出很不同的结果来。
魔术方块是不可交换的。例如，将正面顺时针扭转，顶面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转（FUF'），并不会得出如将正面顺时针扭转，再将正面逆时针扭转，最后再将顶面顺时针扭转（FF'U）一样的结果。扭转是不可交换的。这些扭转被研究于群论中。

数学中的不可交换运算

一些不可交换二元运算^[13]有：

减法： $0-1\neq 1-0$ ，不过可将其减法符号变换成加上其相反数，即可使用交换律。
除法： $1\div 2\neq 2\div 1$ ，可将除法变换成乘上其倒数以使用交换律。
矩阵乘法：

{\begin{bmatrix}0&2\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\neq {\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&1\end{bmatrix}}

数学结构与交换律

阿贝尔群是一个群运算为可交换的群。^[4]
交换环是一个乘法为可交换的环。（环中的加法依定义总会是可交换的。）^[14]
域的加法与乘法都是可交换的。^[15]
中心是一个群最大的可交换子集。^[16]

注记

^ Cabillón & Miller，Commutative and Distributive
^ Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin (编). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. 2011: 4 [2021-07-13]. ISBN 9780191627941. （原始内容存档于2021-07-13）.
^ Axler, p.2
^ ^4.0 ^4.1 Gallian, p.34
^ p. 26,87
^ ^6.0 ^6.1 Krowne, p.1
^ Weisstein, Commute, p.1
^ Lumpkin, p.11
^ Gay and Shute, p.?
^ O'Conner and Robertson, Real Numbers
^ ^11.0 ^11.1 Cabillón and Miller, Commutative and Distributive
^ O'Conner and Robertson, Servois
^ Yark, p.1
^ Gallian p.236
^ Gallian p.250
^ Gallian p.65

参考资料

书籍

Axler, Sheldon. Linear Algebra Done Right, 2e. Springer. 1997. ISBN 978-0-387-98258-8.

Abstract algebra theory. Covers commutativity in that context. Uses property throughout book.

Goodman, Frederick. Algebra: Abstract and Concrete, Stressing Symmetry, 2e. Prentice Hall. 2003. ISBN 978-0-13-067342-8.

Abstract algebra theory. Uses commutativity property throughout book.

Gallian, Joseph. Contemporary Abstract Algebra, 6e. 2006. ISBN 978-0-618-51471-7.

Linear algebra theory. Explains commutativity in chapter 1, uses it throughout.

文章

https://web.archive.org/web/20080228100512/http://www.ethnomath.org/resources/lumpkin1997.pdf Lumpkin, B. (1997). The Mathematical Legacy Of Ancient Egypt - A Response To Robert Palter. Unpublished manuscript.

Article describing the mathematical ability of ancient civilizations.

Robins, R. Gay, and Charles C. D. Shute. 1987. The Rhind Mathematical Papyrus: An Ancient Egyptian Text. London: British Museum Publications Limited. ISBN 978-0-7141-0944-2

Translation and interpretation of the Rhind Mathematical Papyrus.

线上资源

Hazewinkel, Michiel (编), Commutativity, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
Krowne, Aaron, Commutative at PlanetMath., Accessed 2007-08-08.
Definition of commutativity and examples of commutative operations
埃里克·韦斯坦因. Commute. MathWorld. , Accessed 2007-08-08.
Explanation of the term commute
Yark. [2008-02-21]. （原始内容存档于2010-11-26）. Examples of non-commutative operations at PlanetMath., Accessed 2007-08-08
Examples proving some noncommutative operations
O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. History of real numbers. MacTutor. [2007-08-08]. （原始内容存档于2009-09-18）.
Article giving the history of the real numbers
Cabillón, Julio; Miller, Jeff. Earliest Known Uses Of Mathematical Terms. [2008-11-22]. （原始内容存档于2011-05-01）.
Page covering the earliest uses of mathematical terms
O'Conner, J.J.; Robertson, E.F. biography of François Servois. MacTutor. [2007-08-08]. （原始内容存档于2009-09-02）.
Biography of Francois Servois, who first used the term

另见

[Cabillón-1] Cabillón & Miller，Commutative and Distributive

[Flood11-2] Flood, Raymond; Rice, Adrian; Wilson, Robin (编). Mathematics in Victorian Britain. Oxford University Press. 2011: 4 [2021-07-13]. ISBN 9780191627941. （原始内容存档于2021-07-13）.

[3] Axler, p.2

[#1-4] 4.0 ^4.1 Gallian, p.34

[5] . 26,87

[#2-6] 6.0 ^6.1 Krowne, p.1

[7] Weisstein, Commute, p.1

[8] Lumpkin, p.11

[9] Gay and Shute, p.?

[10] O'Conner and Robertson, Real Numbers

[autogenerated1-11] 11.0 ^11.1 Cabillón and Miller, Commutative and Distributive

[12] O'Conner and Robertson, Servois

[13] Yark, p.1

[14] Gallian p.236

[15] Gallian p.250

[16] Gallian p.65

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

查论编二元运算的性质
闭包（封闭律） · 分配律 · 零因子 · 吸收律 · 幂等律 · 幂零律
结合性	结合律 · 幂结合性
交错性	交换律 · 反交换律
单位元	加法单位元 · 乘法单位元 · 有单位的
逆元素	加法逆元 · 乘法逆元

交换律