隨機過程

在概率論以及相關領域中，隨機過程（英語：Stochastic process 或 Random process）通常定義為概率空間中一列隨機變量，其中序列的指標集通常可以理解為時間。很多出現隨機變化現象的系統可以用隨機過程的數學模型所描述，例如菌群數量的變化，由熱噪聲導致的電流大小的波動，或者氣體粒子的運動。隨機過程可以應用在許多學科中，比如生物學、化學、生態學、神經科學、物理學、圖像處理、信號處理、控制論、資訊論、計算機科學、電子通信和金融中。

對於實際應用和實際現象的研究也啟發了有關隨機過程的研究。例如路易·巴謝利耶（英語：Louis Bachelier）研究巴黎證券交易所的股票價格變化時使用了維納過程或布朗運動，A. K. Erlang用泊松過程研究一段時間內電話呼叫發生的次數。這兩個隨機過程是概率論中最核心的兩個過程。歷史上，在這兩人之前之後，許多人也獨立提出了各種假設下的泊松過程和布朗運動。

隨機函數（英語：Random function）^[1]一詞也常用以表示隨機過程，因為隨機過程可以視作函數空間中的一個隨機變量。隨機過程的指標通常是一維的整數或實數上的一個區間，如果指標是二維平面甚至是高維空間，則這樣一族隨機變量通常稱為一個隨機場。隨機過程的實現值也不必是實數，亦可為向量或其它量。

一般來說，常見的隨機過程有隨機遊走、鞅、馬可夫過程、萊維過程、高斯過程、隨機場、更新過程和分支過程。研究隨機過程通常需要藉助其它數學領域的知識。

定義

定義 —
$(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 為一概率空間， $T$ 為一集合。如果有單射 $X:T\to {\mathcal {P}}(\Omega \times \mathbb {R} )$ ，對於所有 $t\in T$ ， $X(t)$ 均為定義 $\Omega$ 上的隨機變量，則 $X$ 稱為 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 上的隨機過程（stochastic process, random process）。

如果要強調 $X$ 的定義域是 $T$ 時，可仿造序列將 $X$ 本身記為 ${\{X_{t}\}}_{t\in T}$ ，並可將 $X(t)$ 記為 $X_{t}$ 。

樣本函數

定義 —
${\{X_{t}\}}_{t\in T}$ 為 $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ 上的隨機過程，若 $\omega \in \Omega$ ，則：

X_{\omega }:={\bigg \{}\langle t,r\rangle \,{\bigg |}\,(t\in T)\wedge [r=X_{t}(\omega )]{\bigg \}}

被稱為樣本點 $\omega \in \Omega$ 的樣本函數（sample function）。

性質

指標集

集合 $T$ 一般用以代表時間，稱為隨機過程的指標集或參數集，通常取為自然數或實數上的一段區間（如非負實數）。研究隨機場等問題時，集合T也可以是其它集合，例如二維歐氏空間。一般來說，隨機過程中的一些結果只對全序集成立。

狀態空間

映射X的值域稱為狀態空間，可以是自然數，實數，向量或其它空間。狀態空間裏的元素表示隨機過程可能取到的值。

樣本軌道

樣本軌道是隨機過程的一個實現的過程，由其組成隨機變量的實現值所組成。也就是說，對隨機過程 $\{X_{t}:t\in T\}$ 和一個結果 $\omega \in \Omega$ ，映射

$X(\cdot ,\omega ):T\to S$

為其樣本軌道。

增量

歷史

為了了解金融市場和研究布朗運動，在19世紀後期人們開始研究隨機過程。第一個用數學語言描述布朗運動的是數學家托瓦爾·N·蒂勒。他在1880年發表了第一篇關於布朗運動的文章。隨後，在1900年， Louis Bachelier（英語：Louis Bachelier）的博士論文「投機理論」提出了股票和期權市場的隨機分析。阿爾伯特·愛因斯坦（在他1905年的一篇論文中）和瑪麗安·一維Smoluchowski（1906年）從物理界的角度出發，把它作為了一種間接證明了原子和分子的存在。他們所描述的布朗運動方程在1908年被讓·佩蘭核實。

從愛因斯坦的文章的摘錄描述了隨機模型的基本原理：

"它必須明確假定每個單個顆粒執行的運動是獨立於所有其他的粒子的運動;它也將被認為是1的動作和相同的顆粒在不同的時間間隔是獨立的過程，只要這些的時間間隔不是非常小"

"我們引入一時間間隔 $\tau$ 蛋白考慮，相對來說這是非常小的，但是我們可觀察到的時間間隔，仍然過大，在兩個連續時間間隔 $\tau$ 蛋白，由粒子所執行的動作可以被認為是作為彼此獨立的事件"。

架構

在概率論的測量理論中，需要解決一個問題。如何構造一個Σ-代數的所有功能空間的衡量子集，然後把它有限化。為了解決這個問題，採用了 Kolmogorov擴展方法。

Kolmogorov擴展方法過程：

假定所有函數f的空間概率測度： $f:X\to Y$ 存在，那麼它可以被用來指定有限維隨機變量 $f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})$ .的聯合概率分佈。現在從這個n維概率分佈，我們可以推斷出第（n - 1）維邊緣概率為 $f(x_{1}),\dots ,f(x_{n-1})$ 。但是需要注意的是兼容性狀態，即這種邊際概率分佈是在相同的類作為1從完全成熟的隨機過程衍生。例如，如果該隨機過程是一個Wiener過程（在這種情況下，邊緣是指數類的所有高斯分佈），但不是在一般對所有的隨機過程。這種方程稱為查普曼-洛夫方程。

科摩哥洛夫擴展定理保證了隨機過程的有限維概率分佈滿足查普曼 - 科摩哥洛夫的兼容性條件的存在..

分離性

回想一下，在洛夫公理化中存在對於概率問題有還是沒有的不確定性。科摩哥洛夫擴展首先聲明是可衡量的功能，其中有限多個坐標 $[f(x_{1}),\dots ,f(x_{n})]$ 被限制在 $Y_{n}$ 中可測量的子集所有集合。如果一個是/否有關的問題都可以通過觀察至多有限多個坐標的值回答，那麼它有一個概率的答案。

在測度理論，如果我們有一個可數無限集合測集，所有的人都那麼的聯合和交集是可測集。對於我們而言，這意味着是/否依賴於可數個坐標的問題有一個概率的答案。

參考文獻

^ Valeriy Skorokhod. Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. 2005: 42. ISBN 978-3-540-26312-8.

Papoulis, Athanasios & Pillai, S. Unnikrishna. Probability, Random Variables and Stochastic Processes. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. 2001. ISBN 0-07-281725-9.
Boris Tsirelson. Lecture notes in Advanced probability theory. （原始內容存檔於2008-11-28）.
J. L. Doob. Stochastic Processes. Wiley. 1953.
An Exploration of Random Processes for Engineers. Free e-book. July 2006 [2010-06-28]. （原始內容存檔於2009-04-17）.

外部連結

An 8 foot tall Probability Machine (named Sir Francis) comparing stock market returns to the randomness of the beans dropping through the quincunx pattern. （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） from Index Funds Advisors IFA.com （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Stochastic Processes used in Quantitative Finance, sitmo.com
Addressing Risk and Uncertainty

[Skorokhod2005page42-1] Valeriy Skorokhod. Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. 2005: 42. ISBN 978-3-540-26312-8.

[1]

閱論編概率論：隨機過程
離散時間（英語：Discrete-time stochastic process）	伯努利過程分支過程中餐館過程高爾頓-沃特森過程（英語：Galton–Watson process）獨立同分佈馬可夫鏈莫蘭過程（英語：Moran process）隨機漫步循環擦除隨機遊走（英語：Loop-erased）自避行走
連續時間	貝塞爾過程出生-死亡過程維納過程/布朗運動布朗橋 Excursion（英語：Brownian excursion）分數布朗運動（英語：Fractional Brownian motion）幾何布朗運動 Meander（英語：Brownian meander）柯西過程（英語：Cauchy process） Contact process（英語：Contact process (mathematics)） Cox process（英語：科克斯过程） Diffusion process（英語：Diffusion process） Empirical process（英語：Empirical process）費勒過程（英語：Feller process）弗萊明-維奧過程（英語：Fleming–Viot process）伽馬過程（英語：Gamma process）亨特過程（英語：Hunt process） Interacting particle system（英語：Interacting particle system）s 伊藤積分伊藤過程跳躍擴散（英語：Jump diffusion）跳躍過程萊維過程 Local time（英語：Local time (mathematics)）馬可夫加過程（英語：Markov additive process）麥基恩-弗拉索夫過程（英語：McKean–Vlasov process）奧恩斯坦-烏倫貝克過程泊松過程複合泊松過程（英語：Compound Poisson process）非齊次泊松過程泊松點過程施拉姆-勒夫納演進半鞅 Sigma-martingale（英語：Sigma-martingale） Stable process（英語：Stable process） Superprocess（英語：Superprocess） Telegraph process（英語：Telegraph process） Variance gamma process（英語：Variance gamma process）維納過程 Wiener sausage（英語：Wiener sausage）
離散時間與連續時間	分支過程高斯過程隱藏式馬可夫模型（HMM）馬可夫過程鞅鞅差序列（英語：Martingale difference sequence）局部鞅（英語：Local martingale） Sub- Super-（英語：Super-） Random dynamical system（英語：Random dynamical system） Regenerative process（英語：Regenerative process） Renewal process（英語：Renewal process）白雜訊
場及其它	狄利克雷過程（英語：Dirichlet process）高斯隨機場（英語：Gaussian random field）吉布斯測度（英語：Gibbs measure）霍普菲爾德神經網絡易辛模型馬可夫網絡滲流理論皮特曼-約爾過程（英語：Pitman–Yor process）點過程 Cox（英語：Point process#Cox point process）泊松過程玻茨模型隨機場隨機圖
時間序列模型	ARCH模型 ARIMA模型自我迴歸模型 ARMA模型廣義ARCH模型移動平均模型
金融模型	布萊克-德爾曼-托伊模型（英語：Black–Derman–Toy model）布萊克-卡拉辛斯基模型（英語：Black–Karasinski model）布萊克-舒爾斯模型陳模型 Constant elasticity of variance (CEV)（英語：Constant elasticity of variance model）科克斯-英格索爾-羅斯模型 (CIR)（英語：Cox–Ingersoll–Ross model） Garman–Kohlhagen（英語：Garman–Kohlhagen model） HJM框架赫斯頓模型（英語：Heston model） Ho–Lee（英語：Ho–Lee model）赫爾-懷特模型 LIBOR市場模型（英語：LIBOR market model） SABR volatility（英語：SABR volatility model）瓦西塞克模型（英語：Vasicek model）
精算學	Bühlmann（英語：Bühlmann model） Cramér–Lundberg（英語：Cramér–Lundberg model） Risk process（英語：Risk process） Sparre–Anderson（英語：Sparre–Anderson model）
等候理論	Bulk（英語：Bulk queue） Fluid（英語：Fluid queue） Generalized queueing network（英語：G-network） M/G/1（英語：M/G/1 queue） M/M/1 M/M/c（英語：M/M/c queue）
性質	右連左極函數 Continuous（英語：Continuous stochastic process） Continuous paths（英語：Sample-continuous process）遍歷性 Exchangeable（英語：Exchangeable random variables） Feller-continuous（英語：Feller-continuous process） Gauss–Markov（英語：Gauss–Markov process）馬可夫性質 Mixing（英語：Mixing (mathematics)） Piecewise deterministic（英語：Piecewise deterministic Markov process）可預測過程循序可測過程 Self-similar（英語：Self-similar process）平穩過程 Time-reversible（英語：Time reversibility）
極限定理	中心極限定理 Donsker's theorem（英語：Donsker's theorem） Doob's martingale convergence theorems（英語：Doob's martingale convergence theorems）遍歷理論 Fisher–Tippett–Gnedenko theorem（英語：Fisher–Tippett–Gnedenko theorem） Large deviation principle（英語：Large deviation principle）大數法則重對數律 Maximal ergodic theorem（英語：Maximal ergodic theorem） Sanov's theorem（英語：Sanov's theorem）
不等式	Burkholder–Davis–Gundy（英語：Burkholder–Davis–Gundy inequalities） Doob's martingale（英語：Doob's martingale inequality） Kunita–Watanabe（英語：Kunita–Watanabe inequality）
工具	Cameron–Martin formula（英語：Cameron–Martin formula）隨機變量的收斂 Doléans-Dade exponential（英語：Doléans-Dade exponential） Doob decomposition theorem（英語：Doob decomposition theorem） Doob–Meyer decomposition theorem（英語：Doob–Meyer decomposition theorem） Doob's optional stopping theorem（英語：Doob's optional stopping theorem） Dynkin's formula（英語：Dynkin's formula）費曼-卡茨公式右連左極函數 Girsanov theorem（英語：Girsanov theorem） Infinitesimal generator（英語：Infinitesimal generator (stochastic processes)）伊藤積分伊藤引理 Kolmogorov continuity theorem（英語：Kolmogorov continuity theorem） Kolmogorov extension theorem（英語：Kolmogorov extension theorem） Lévy–Prokhorov metric（英語：Lévy–Prokhorov metric） Malliavin calculus（英語：Malliavin calculus） Martingale representation theorem（英語：Martingale representation theorem） Optional stopping theorem（英語：Optional stopping theorem） Prohorov theorem（英語：Prohorov theorem）二次變差 Reflection principle（英語：Reflection principle (Wiener process)） Skorokhod integral（英語：Skorokhod integral） Skorokhod's representation theorem（英語：Skorokhod's representation theorem）右連左極函數 Snell envelope（英語：Snell envelope）隨機微分方程 Tanaka（英語：Tanaka equation）停時隨機積分 Uniform integrability（英語：Uniform integrability） Usual hypotheses（英語：Usual hypotheses）維納空間 Classical（英語：Classical Wiener space） Abstract 漂移項
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