在數學中,正整數的階冪(英語:expofactorial 或 exponential factorial)是所有小於及等於該數的正整數的冪,記作 n$ ,例如:
。
階冪是階加和階乘在冪運算上的類比。
前幾項的階冪數為
1 , 2 , 9 , 262144 , ... (OEIS數列A049384)
階冪的增長率比階乘,甚至過級階乘還要快。到了5的階冪,已經是
。
定義
一般地說,對於正整數 n,
![{\displaystyle n\$=n_{}^{(n-1)^{{(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3}^{{2}^{1}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5754b58b5825b5c79813988edd946c05d0df487)
從上述公式中,可以推導出遞歸關係:
。
遞歸關係在階冪函數中任意正整數 n 皆成立,例如:
![{\displaystyle {\begin{aligned}5\$&=5^{4\$}\\6\$&=6^{5\$}\\50\$&=50^{49\$}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a17100b2fe7a6f620bac748e4550c4722b11e910)
非正整數的擴展
階冪原始的定義只在正整數上。不同於階乘,階冪的定義域從正整數推廣到實數和複數的過程中,遇到了困難。
與疊代冪次相似,由於冪塔高度為 0 的數值並沒有一個廣為接受的良好定義,
並未定義。階冪亦不像階乘般,存在如伽瑪函數一樣的函數,作為其對實數以至複數的擴展。
變化
雙階冪
類比於雙階乘,能夠為正整數 n 定義雙階冪(double expofactorial)。
當
是單數,
。
當
是雙數,
。
多重階冪
雙階冪能進一步推廣為多重階冪(multiple expofactorial)。
被稱為 n 的 m 重階冪,定義為
。
例如,
。
超級階冪
類比於由尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義的超級階乘,我們能定義超級階冪(superexpofactorial)為首 n 個階冪的疊冪,記作
。
![{\displaystyle \operatorname {se} (n)=n\$_{}^{(n-1)\$^{{(n-2)\$}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3\$}^{{2\$}^{1\$}}}}}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4eb2b40219150164a1538aaff0cdfba87fb506b)
例如,
前幾個超級階冪為
- 1 , 2 , 81, ...
- 第四個超級階冪值約為
。
過級階冪
過級階冪(hyperexpofactorial)寫作
,其定義為
,
其中
表示疊代冪次。
例如,
前幾項的過級階冪為
- 1 , 4 , 3381391913522726342930221472392241170198527451848561, ...
- 第四個過級階冪值約為
。
倒數階冪
倒數階冪(reciprocal expofactorial)是指所有小於及等於該數的正整數之倒數的疊冪:
。
階冪的和及積
首 n 個階冪的和為
。
首 n 個階冪的積為
。
以上兩個數值的增長率,要比階冪本身還要快。
首 n 個階冪倒數的和為
。
當 n 趨向無窮大,其值收斂於
。(OEIS數列A080219)
參見
參考文獻
- Clifford A. Pickover (1995), Keys to Infinity, Wiley.
- Jonathan Sondow, "Exponential Factorial (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)" From Mathworld, a Wolfram Web resource
- Sloane, N. J. A., Sequences A049384 and A080219, The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences.