阿基米德公理

此條目頁的主題是數學公理或定理。關於物理學定律，請見「阿基米德浮體原理」。

阿基米德公理的示意圖

在抽象代數和分析學中，以古希臘數學家阿基米德命名的公理，是一些賦範的群、域和代數結構具有的一個性質，可表述如下：

對於任何正實數 $a$ 及 $b$，即使 $a$ 多麼小，或是 $b$ 多麼大，也必定存在自然數 $n$，使得 $an>b$。

這公理的粗略意義是，數字系統不存在具有無窮大或無窮小性質的元素。

這個概念源於古希臘對量的理論。由於它出現在阿基米德的《論球體和圓柱體》的公理五，1883年，奧地利數學家奧托·施托爾茨賦予它這個名字。

在現代實分析中，這性質不是一個公理，而是退卻為實數具完備性的結果。基於這理由，常以性質的叫法取而代之。

此性質在現代數學中，仍然起着重要的作用，例如有關有序群、有序體和局部體的理論，以及大衛·希爾伯特的幾何公理系統。

形式敘述以及證明

解釋

簡單地說，阿基米德性質可以認為以下二句敘述的任一句：

1. 給出任何數，你總能夠挑選出一個整數大過原來的數。
2. 給出任何正數，你總能夠挑選出一個整數其倒數小過原來的數。

這等價於說，對於任何正實數$a$、$b$，如果$a<b$，則存在自然數$n$，有

$\underbrace {a+\cdots +a} _{n{\text{ terms}}}>b$

與實數的完備性的關係

實數的完備性蘊含了阿基米德性質，證明利用了反證法：

假設對所有$n$，$na<b$（注意$na$表示$n$個$a$相加），令$S=\{na|n=1,2,3,...\}$，則$b$爲$S$的上界（$S$上方有界，依實數完備性，必存在最小上界，令其為$\alpha$），於是$\forall n=1,2,3,...$有

$na<\alpha \Rightarrow (n+1)a<\alpha \Rightarrow na<\alpha -a$

得出$\alpha -a$也是$S$的一個上界，這與$\alpha$是最小上界矛盾。這樣就由實數的完備性推出了阿基米德性質，但阿基米德性質推不出實數的完備性，因為有理數滿足阿基米德性質，但並不是完備的。