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費馬-卡塔蘭猜想

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數論上,費馬-卡塔蘭猜想費馬大定理卡塔蘭猜想的推廣,而這猜想認為,以下的等式

1

僅有有限多個彼此互質,且滿足下列條件的解:

2

這個給出條件的不等式是猜想的必要成分,而這是因為沒有這不等式的話,這結果就會有無限多的解,像例如在的狀況下,顯然有無限多的解;而在的狀況下該等式就是畢達哥拉斯定理,而目前已知有無限多個畢氏三元數存在。

已知解

截至2015年為止,等式(1)已知有十個滿足不等式(2)的解,而這些解如下:[1]

(在的狀況下這滿足不等式(2))

根據在普雷達·米哈伊列斯庫英語Preda Mihăilescu於2002年證明的卡塔蘭猜想,這些等式中的第一個,也就是,是唯一滿足其中一個是1的解。盡管因為可以是大於6的任意數之故,因此等同於有無限多解,這些解只對這三元數給出一組解。

部分結果

根據利用了法爾廷斯定理的達爾蒙-關維定理(Darmon–Granville theorem),對於任意特定不等式(2)的三元數組,等式(1)僅有有限解;[2][3]:p. 64然而完整的費馬-卡塔蘭猜想強於此,而這是因為完整的猜想允許這三個指數項是任意數之故。

abc猜想可導出費馬-卡塔蘭猜想。[4]

亦可見貝亞爾猜想英語Beal conjecture一文的內容以得知已證實不可能的指數組合;而貝亞爾猜想為真,當且僅當所有的費馬-卡塔蘭猜想都有

參見

參考資料

  1. ^ Pomerance, Carl, Computational Number Theory, Gowers, Timothy; Barrow-Green, June; Leader, Imre (編), The Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press: 361–362, 2008, ISBN 978-0-691-11880-2 .
  2. ^ Darmon, H.; Granville, A. On the equations zm = F(x, y) and Axp + Byq = Czr. Bulletin of the London Mathematical Society. 1995, 27: 513–43. doi:10.1112/blms/27.6.513. 
  3. ^ Elkies, Noam D. The ABC's of Number Theory (PDF). The Harvard College Mathematics Review. 2007, 1 (1) [2023-01-10]. (原始內容存檔 (PDF)於2016-03-10). 
  4. ^ Waldschmidt, Michel. Lecture on the conjecture and some of its consequences. Mathematics in the 21st century (PDF). Springer Proc. Math. Stat. 98. Basel: Springer. 2015: 211–230 [2023-01-10]. MR 3298238. doi:10.1007/978-3-0348-0859-0_13. (原始內容存檔 (PDF)於2023-12-03). 

外部連結