在數學 中，矩陣 的平方根平方根 概念的推廣。對一個矩陣A ，如果矩陣B 滿足
B
⋅
B
=
A
{\displaystyle B\cdot B=A}
那麼矩陣B 就是A 的一個平方根。
與算術中的平方根概念不同，矩陣的平方根不一定只有兩個。然而依照矩陣平方根的概念以及矩陣乘法 的定義，只有方塊矩陣 才有平方根。[ 1]
如果矩陣的係數域是代數閉域 ，比如說複數 域
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
對角矩陣 ，其平方根是很容易求得的。只需要將對角線上的每一個元素都換成它的平方根就可以了。這種思路可以推廣到一般的可對角化矩陣 A 是指可以通過相似變換 成為對角矩陣D 的矩陣：
∃
P
,
A
=
P
D
P
−
1
{\displaystyle \exists P,\quad A=PDP^{-1}}
其中的矩陣P 是可逆 的矩陣。在這種情況之下，假設矩陣D 的形式是：
D
=
[
d
1
0
0
⋯
0
0
d
2
0
⋯
0
⋮
0
⋱
0
⋮
0
⋯
0
d
n
−
1
0
0
⋯
0
0
d
n
]
{\displaystyle D={\begin{bmatrix}d_{1}&0&0&\cdots &0\\0&d_{2}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1}&0\\0&\cdots &0&0&d_{n}\end{bmatrix}}}
那麼矩陣A 的平方根就是：
A
1
2
=
P
D
1
2
P
−
1
{\displaystyle A^{\frac {1}{2}}=PD^{\frac {1}{2}}P^{-1}}
其中的
D
1
2
{\displaystyle D^{\frac {1}{2}}}
D
1
2
=
[
d
1
0
0
⋯
0
0
d
2
0
⋯
0
⋮
0
⋱
0
⋮
0
⋯
0
d
n
−
1
0
0
⋯
0
0
d
n
]
{\displaystyle D^{\frac {1}{2}}={\begin{bmatrix}{\sqrt {d_{1}}}&0&0&\cdots &0\\0&{\sqrt {d_{2}}}&0&\cdots &0\\\vdots &0&\ddots &0&\vdots \\0&\cdots &0&{\sqrt {d_{n-1}}}&0\\0&\cdots &0&0&{\sqrt {d_{n}}}\end{bmatrix}}}
[ 2]
另一種計算矩陣平方根的方法是丹曼-畢福斯迭代算法。在計算一個
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
A 的平方根時，先設矩陣
Y
0
=
A
{\displaystyle Y_{0}=A}
Z
0
=
I
n
{\displaystyle Z_{0}=I_{n}}
I
n
{\displaystyle I_{n}}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
單位矩陣 ）。然後用以下的迭代公式計算矩陣序列
(
Y
k
)
k
⩾
0
{\displaystyle \left(Y_{k}\right)_{k\geqslant 0}}
(
Z
k
)
k
⩾
0
{\displaystyle \left(Z_{k}\right)_{k\geqslant 0}}
Y
k
+
1
=
Y
k
+
Z
k
−
1
2
{\displaystyle Y_{k+1}={\frac {Y_{k}+Z_{k}^{-1}}{2}}}
Z
k
+
1
=
Z
k
+
Y
k
−
1
2
{\displaystyle Z_{k+1}={\frac {Z_{k}+Y_{k}^{-1}}{2}}}
這樣的兩個序列將會收斂 到兩個矩陣
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle Z}
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle Z}
Y
{\displaystyle Y}
Cheng, Sheung Hun; Higham, Nicholas J. ; Kenney, Charles S.; Laub, Alan J., Approximating the Logarithm of a Matrix to Specified Accuracy (PDF) , SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 2001, 22 (4): 1112–1125, doi:10.1137/S0895479899364015 原始內容 (PDF) 存檔於2011-08-09） Denman, Eugene D.; Beavers, Alex N., The matrix sign function and computations in systems, Applied Mathematics and Computation, 1976, 2 (1): 63–94, doi:10.1016/0096-3003(76)90020-5 
