混合規則

複合材料彈性模數的上限和下限，下限為此處給出的混合規則所預測，但上限大於此處給出的混合規則。 實際彈性模數介於曲線之間。

在材料科學中，混合規則是用來預測複合材料的各種性能的平均值。 它提供了彈性模數、極限拉伸強度、熱導率和導電度等特性的理論上下限。 通常會使用兩種模型，一種用於軸向負載（Voigt 模型） ，一種用於橫向負載（Reuss 模型）。

一般來說，對於某些物理性質，如彈性模數 $E$ ，混合規則指出，平行於纖維方向上的整體性能可達：

$E_{c}=fE_{f}+\left(1-f\right)E_{m}$

其中

• $f={\frac {V_{f}}{V_{f}+V_{m}}}$是纖維佔整體的體積比例
• $E_{f}$ 是纖維的材料性質
• $E_{m}$ 是基材的材料性質

常犯的錯誤是以為這是楊氏模數的上限。實際上這個公式給出楊氏模數上限大於 $E_{c}$。即使兩個都是等向性(Isotropic)材料，真正的上限是 $E_{c}$ 加上兩個成分泊松比之差的平方。

混合逆規則表明，在垂直於纖維的方向上，複合材料的彈性模數可以低至

$E_{c}=\left({\frac {f}{E_{f}}}+{\frac {1-f}{E_{m}}}\right)^{-1}.$

如果所要研究的是彈性模數，則這就稱為下限模數，對應橫向負載。

彈性模量的推導

Voigt模數

考慮單軸拉伸下的複合材料$\sigma _{\infty }$ 。如果材料要保持完整， $\epsilon _{f}$ (纖維的應變) 必須等於 $\epsilon _{m}$(基材的應變) 。單軸張力的虎克定律給出

${\frac {\sigma _{f}}{E_{f}}}=\epsilon _{f}=\epsilon _{m}={\frac {\sigma _{m}}{E_{m}}}$

1

在這裏$\sigma _{f}$, $E_{f}$, $\sigma _{m}$, $E_{m}$分別是纖維和基材的應力和彈性模數。注意到應力的定義是每單位面積的力[N/m^2]，力平衡給出：

$\sigma _{\infty }=f\sigma _{f}+\left(1-f\right)\sigma _{m}$

2

這裏$f$是複合材料中纖維的體積比例（並且$1-f$是基材的體積比例）。

如果假設複合材料表現為線彈性材料，即遵守虎克定律$\sigma _{\infty }=E_{c}\epsilon _{c}$對於複合材料的某些彈性模數$E_{c}$以及複合材料的一些應變$\epsilon _{c}$ ，那麼等式 (1) 和 (2) 可以結合起來給出

$E_{c}\epsilon _{c}=fE_{f}\epsilon _{f}+\left(1-f\right)E_{m}\epsilon _{m}.$

最後，自從$\epsilon _{c}=\epsilon _{f}=\epsilon _{m}$ ，複合材料的整體彈性模數可表示為

$E_{c}=fE_{f}+\left(1-f\right)E_{m}.$

Reuss 模數

現在在複合材料垂直於纖維方向施加負載，假設$\sigma _{\infty }=\sigma _{f}=\sigma _{m}$ 。複合材料中的總應變分佈在材料之間，使得：

$\epsilon _{c}=f\epsilon _{f}+\left(1-f\right)\epsilon _{m}.$

材料的總模數如下式所示：

$E_{c}={\frac {\sigma _{\infty }}{\epsilon _{c}}}={\frac {\sigma _{f}}{f\epsilon _{f}+\left(1-f\right)\epsilon _{m}}}=\left({\frac {f}{E_{f}}}+{\frac {1-f}{E_{m}}}\right)^{-1}$

因為$\sigma _{f}=E\epsilon _{f}$, $\sigma _{m}=E\epsilon _{m}$ 。

其他特性

類似的推導給出了混合規則

• 質量密度： \rho_c=\rho_f\centerdot f+\rho_M\centerdot (1-f)$$\rho _{c}=\rho _{f}\centerdot f+\rho _{M}\centerdot (1-f)$$
• 極限拉伸強度： $$\left({\frac {f}{\sigma _{UTS,f}}}+{\frac {1-f}{\sigma _{UTS,m}}}\right)^{-1}\leq \sigma _{UTS,c}\leq f\sigma _{UTS,f}+\left(1-f\right)\sigma _{UTS,m}$$
• 熱導率： $$\left({\frac {f}{k_{f}}}+{\frac {1-f}{k_{m}}}\right)^{-1}\leq k_{c}\leq fk_{f}+\left(1-f\right)k_{m}$$
• 導電度： $$\left({\frac {f}{\sigma _{f}}}+{\frac {1-f}{\sigma _{m}}}\right)^{-1}\leq \sigma _{c}\leq f\sigma _{f}+\left(1-f\right)\sigma _{m}$$

參見

當考慮化合物的某些物理性質和化學成分的經驗相關性時，其他關係、規則或定律也非常類似於混合規則：

• 阿馬加特定律– 氣體部分體積定律
• Gladstone–Dale 方程– 液體、玻璃和晶體的光學分析
• 柯普定律– 使用質量百分比
• 柯普-諾依曼定律– 合金的比熱容
• 維加德定律– 晶格參數

外部連結

• 混合規則計算機