海倫三角形

海倫三角形是邊長和面積都是有理數的三角形。

性質

任何邊長為勾股數組的三角形都是海倫三角形，因為邊長都是整數，而它的面積是兩個直角邊的積的一半，所以是有理數。

邊長為c、e和b + d，高為a的三角形

一個不含直角的海倫三角形的例子，是邊長為5、5和6的三角形，它的面積是12。這個三角形可由兩個邊長為3、4和5的直角三角形拼合而成。這種方法一般都是有效的。我們取兩個邊長分別為（a，b，c）和（a，d，e）的直角三角形，並把它們拼合起來，便得到一個邊長為c、e和b + d的三角形，其面積為：

$A={\frac {1}{2}}(b+d)a$

那麼是不是任何海倫三角形都可以由兩個邊長為整數的直角三角形拼合而成呢？答案是否定的。例如邊長為0.5、0.5和0.6的海倫三角形，就不能分割成邊長為整數的兩個較小的三角形。邊長為5、29、30的三角形（面積為72）也不行，因為它的任何一個高都不是整數。但是，任何海倫三角形都可以由兩個邊長為有理數的直角三角形拼合而成。

定理

給定一個海倫三角形，總可以把它分割成兩個邊長為有理數的直角三角形。

證明

考慮右面的圖。不妨設b + d是最長的邊。為了證明（a，b，c）和（a，d，e）是勾股數組，我們必須證明a、b和d是有理數。

由於三角形的面積為

$A={\frac {1}{2}}(b+d)a,$

則

$a={\frac {2A}{b+d}}$

它是有理數。我們還須證明b和d也是有理數。

利用勾股定理，可知

$a^{2}+b^{2}=c^{2}\,$

以及

$a^{2}+d^{2}=e^{2}.\,$

兩式相減，得

$b^{2}-d^{2}=c^{2}-e^{2}\,$

或

$(b-d)(b+d)=c^{2}-e^{2}\,$

或

$b-d={\frac {c^{2}-e^{2}}{b+d}}.\,$

等式的右面是有理數，因為根據假設，c、e和b + d都是有理數。那麼，b − d也是有理數。於是，b和d都是有理數。證畢。

海倫三角形的公式

利用以下的公式，可以得出所有的海倫三角形：

$a=n\,(m^{2}+k^{2})$

$b=m\,(n^{2}+k^{2})$

$c=(m+n)\,(mn-k^{2})$

其中$m,n,$和$k$是有理數。