泊松過程

Poisson過程

Poisson過程（Poisson process，也譯為布瓦松過程、布阿松過程、波以松過程、卜氏過程等），是以法國數學家泊松（1781 - 1840）的名字命名的。泊松過程是隨機過程的一種，是以事件的發生時間來定義的。我們說一個 隨機過程 $N(t)$是一個時間齊次的一維泊松過程，如果它滿足以下條件：

• 在兩個互斥（不重疊）的區間內所發生的事件的數目是互相獨立的隨機變量。

• 在區間$[t,t+\tau ]$內發生的事件的數目的概率分佈為：

$P[(N(t+\tau )-N(t))=k]={\frac {e^{-\lambda \tau }(\lambda \tau )^{k}}{k!}}\qquad k=0,1,\ldots$

其中λ是一個正數，是固定的參數，通常稱為抵達率（arrival rate）或強度（intensity）。所以，如果給定時間區間$[t,t+\tau ]$，則時間區間之中事件發生的數目隨機變量$N(t+\tau )-N(t)$呈現泊松分佈，其參數為$\lambda \tau$。

更一般地來說，一個泊松過程是在每個有界的時間區間或在某個空間（例如：一個歐幾里得平面或三維的歐幾里得空間）中的每一個有界的區域，賦予一個隨機的事件數，使得

• 在一個時間區間或空間區域內的事件數，和另一個互斥（不重疊）的時間區間或空間區域內的事件數，這兩個隨機變量是獨立的。

• 在每一個時間區間或空間區域內的事件數是一個隨機變量，遵循泊松分佈。（技術上而言，更精確地來說，每一個具有有限測度的集合，都被賦予一個泊松分佈的隨機變量。）

泊松過程是萊維過程（Lévy process）中最有名的過程之一。時間齊次的泊松過程也是時間齊次的連續時間Markov過程的例子。一個時間齊次、一維的泊松過程是一個純出生過程，是一個出生-死亡過程的最簡單例子。

性質

考慮一個泊松過程，我們將第一個事件到達的時間記為$T_{1}$。此外，對於$n>1$，以$T_{n}$記在第$n-1$個事件與第$n$個事件之間用去的時間。序列$\{T_{n},n=1,2,...\}$稱為到達間隔時間列。

• $T_{n}(n=1,2,...)$是獨立同分佈的指數隨機變量，具有均值${\frac {1}{\lambda }}$。

參見

• 泊松分佈
• 馬爾科夫鏈