毛球定理

在代數拓撲中，毛球定理（英語：Hairy ball theorem）說明了偶數維單位球面上的連續而又處處不為零的切向量場是不存在的。具體來說，如果 f 是定義在一個單位球面上的連續函數，並且對球面上的每一點 P ，其函數值是一個與球面在該點相切的向量，那麼總存在球面上的一點，使得f在該點的值為零。直觀上（三維空間中的球面），不存在零點的球面向量場可以想像為一個被「撫平」的「毛球」。而這個定理最著名的通俗陳述也正是「永遠不可能撫平一個毛球」。這個定理首先在1912年被魯伊茲·布勞威爾證明。^[1]

實際上，根據龐加萊-霍普夫定理，三維空間中的向量場的零點處的指數和為2，即二維球面的歐拉示性數，因此零點必然存在。對於二維環面，其歐拉特徵數為0，因此「長滿毛的甜甜圈」是有可能被「撫平」的。推廣來說，對於任意的正則的偶數維緊流形，若其歐拉示性數不為0，則其上的連續的切向量場必然存在零點。

零點的計數

從一個更先進的觀點來看：向量場的每個零點具有一個（非零的）"指標"，並且可以證明，所有零點的指標之和必為2。這是因為2維球面的歐拉示性數為2，因此，必定存在至少一個零點。這是由龐加萊-霍普夫定理導出的推論。在圓環的情況下，歐拉示性數等於0，因此"撫平長滿毛的甜甜圈"是可能的。推廣而言，對於任意歐拉示性數非0的緊緻正則2維流形，任何連續的切向量場都有至少一個零點。

定理的陳述

我們考慮常規的歐幾里得空間 $\mathbb {R} ^{n+1}$ 里的一個單位球：

S_{n}=\{(x_{0},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1},x_{0}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1\}

.

其上的拓撲為歐幾里得範數誘導的拓撲。這是一個n維的連通的緊子流形。直覺上，對一個單位向量 $v$ ，它在單位球上的對應點可以用過 $v$ 並且與其正交的一個 $\mathbb {R} ^{n+1}$ 中的仿射超平面來逼近。 $S_{n}$ 上的一個連續的切向量場可以定義為連續映射： $X:\;S_{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n+1}$ ，使得 $X(v)$ 與 $v$ 正交。

定理：如果n為大於等於2的偶數，那麼所有 $S_{n}$ 上的連續的切向量場 $X$ 必然有至少一個零點。

對於奇數維的情形，存在連續（甚至解析）切向量場，在處處皆不為零。

毛球定理與氣旋

毛球定理在氣象學上的一個有趣應用是對於氣旋的研究。如果我們把大氣的運動：風看為地球表面的一個向量，那麼這個向量場連續，因為覆蓋地球表面的大氣層可以看作是連續分佈的。作為理想化的模型，我們可以忽略空氣的垂直運動，因為其相對於地球的半徑是很小的，或者說我們只研究其水平分量（也是連續的）。

這樣看來，一個完全沒有風的點（空氣靜止）對應着向量場的一個零點。事實上，就物理上來說，空氣是不可能在某一個區域處處絕對靜止的，因為空氣總在運動。但毛球定理說明零點存在，因此必然有空氣靜止的點，並且是孤立點。

一個物理學上的解釋是這些零點對應着氣旋或反氣旋的中心（風眼）。在這樣的零點附近，風的分佈成螺旋形，但永遠不會從水平吹入中心或從其中吹出（只能上升或下降）。由毛球定理可以得出，地球表面永遠存在氣旋和風眼，在風眼處風平浪靜，但四周都有風環繞。

推論

毛球定理的一個推論是，任何把一個偶數維球面映射到它自己的連續函數要麼具有一個不動點，要麼具有一個被映射到它自己的對跖點的點。這可以通過把函數按如下方式變換成切向量場看出。

令s為一個將球面映射到它自己的函數，我們可以如下構造切向量函數v。對每個點 p，以p為切點構造s(p)的球極平面投影。令v(p)為這個投影點相對於p的位移向量。根據毛球定理，存在p使得v(p) = 0，從而有s(p) = p。

以上論證僅在一種情況下不成立，即若存在p使得s(p)恰好為p的對跖點，因為該點是唯一一個無法被球極平面投影到p的切平面上的點。

參考

^ 證明原文，德文

J. W. Milnor. 《Topology from the differentiable viewpoint》. Princeton University. 1997. ISBN 0691048339 （英語）.
N. E. Chinn W. G. Steenrod. 《Journal de l'ascension du Mont-Blanc》. 法國: Dunod. 1991. ISBN 2040048480 （法語）.
（英文） M. Eisenberg, R. Guy, A Proof of the Hairy Ball Theorem The American Mathematical Monthly Vol. 86, No. 7 (Aug. — Sep., 1979), pp. 571—574

外部連結

planetmath上的證明（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

[1] 證明原文，德文

[1]