模糊集

模糊集是模糊數學上的一個基本概念，是數學上普通集合的擴展。

定義

給定一個論域$U$ ，那麼從$U$到單位區間$[0,1]$的一個映射$\mu _{A}:U\mapsto [0,1]$稱為$U$上的一個模糊集，或$U$的一個模糊子集。

表示

模糊集可以記為$A$。映射（函數）$\mu _{A}(\cdot )$或簡記為$A(\cdot )$叫做模糊集$A$的隸屬函數。對於每個$x\in U$， $\mu _{A}(x)$叫做元素$x$對模糊集$A$的隸屬度。

模糊集的常用表示法有下述幾種：

1. 解析法，也即給出隸屬函數的具體表達式。
2. Zadeh記法，例如$A={1 \over x_{1}}+{0.5 \over x_{2}}+{0.72 \over x_{3}}+{0 \over x_{4}}$。分母是論域中的元素，分子是該元素對應的隸屬度。有時候，若隸屬度為0，該項可以忽略不寫。
3. 序偶法，例如$A=\{(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)\}$，序偶對的前者是論域中的元素，後者是該元素對應的隸屬度。
4. 向量法，在有限論域的場合，給論域中元素規定一個表達的順序，那麼可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式，如$A=(1,0.5,0.72,0)$。

和傳統集合的關係

和傳統的集合一樣，模糊集也有它的元素，但可以談論每個元素屬於該模糊集的程度，其從低至高一般用 0 到 1 之間的數來表示。模糊集理論是由盧菲特·澤德（1965）所引進的，是經典集合論的一種推廣。在經典的集合論中，所謂的二分條件規定每個元素只能屬於或不屬於某個集合（因此模糊集不是集合）；可以說，每個元素對每個集合的歸屬性（membership）都只能是 0 或 1。而每模糊集則擁有一個歸屬函數（membership function），其值允許取閉區間$[0,1]$（單位區間）中的任何實數，用來表示元素對該集的歸屬程度。比如設某模糊集$A$的歸屬函數為$M$ ，而$a$、$b$、$c$為三個元素；如果$M(a)=1$，$M(b)=0$，$M(c)={\frac {1}{2}}$，則可以說 「$a$完全屬於$A$」，「$b$完全不屬於$A$」，「$c$對$A$的歸屬度為${\frac {1}{2}}$」（注意沒有說「$c$有一半屬於$A$」，因為尚未規定${\frac {1}{2}}$的歸屬度具有甚麼特殊含義）。作為特例，當歸屬函數的值只能取 0 或 1 時，就得到了傳統集合論常用的指示函數（indicator function）。傳統集合在模糊集理論中通常稱作「明確集」（crisp set）。

截集與截積

設 $A$為 $U$上的模糊集（記作 $A\in {\mathcal {F}}(U)$），任取 $\lambda \in [0,1]$，則

$A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}$，

稱$A_{\lambda }$為$A$的$\lambda$截集，而$\lambda$稱為閾值或置信水平。將上式中的$\geq$替換為$>$，記為$A_{S\lambda }$，稱為強截集。

截集和強截集都是經典集合。此外，顯然$A_{1}$為$A$的核，即$\ker A$；如果$\ker A\neq \varnothing$，則稱$A$為正規模糊集，否則稱為非正規模糊集。

截積是數與模糊集的積：

設$\lambda \in [0,1]$，$A\in F(U)$，則$\forall u\in U$，$\lambda$與$A$的截積（或稱為$\lambda$截集的數乘，記為$\lambda A$）定義為：

$(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}$

根據定義，截積仍是$U$上的模糊集合。

分解定理與表現定理

分解定理：

設$A\in F(U)$，則

$A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }$

即任一模糊集$A$都可以表達為一族簡單模糊集$\left\{\lambda a_{\lambda }\right\}$的並。也即，一個模糊集可以由其自身分解出的集合套而「拼成」。

表現定理：

設$H$為$U$上的任何一個集合套，則

$A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )$

是$U$上的一個模糊集，且$\forall \lambda \in [0,1]$，有

（1）$A_{S\lambda }=\cup _{\alpha >\lambda }H(\alpha )$

（2）$A_{\lambda }=\cap _{\alpha <\lambda }H(\alpha )$

即任一集合套都能拼成一個模糊集。

模糊度

一個模糊集$A$的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一個直觀的定義是這樣的：

設映射$D:F(U)\rightarrow [0,1]$滿足下述5條性質：

1. 清晰性：$D(A)=0$若且唯若$A\in P(U)$。（經典集的模糊度恆為0。）
2. 模糊性：$D(A)=1$若且唯若$\forall u\in U$有$A(u)=0.5$。（隸屬度都為0.5的模糊集最模糊。）
3. 單調性：$\forall u\in U$，若$A(u)\leq B(u)\leq 0.5$，或者$A(u)\geq B(u)\geq 0.5$，則$D(A)\leq D(B)$。
4. 對稱性：$\forall A\in F(U)$，有$D(A^{c})=D(A)$。（補集的模糊度相等。）
5. 可加性：$D(A\cup B)+D(A\cap B)=D(A)+D(B)$。

則稱$D$是定義在$F(U)$上的模糊度函數，而$D(A)$為模糊集$A$的模糊度。

可以證明符合上述定義的模糊度是存在的，一個常用的公式（分別針對有限和無限論域）就是
${\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}$
其中$p>0$是參數，稱為 Minkowski 模糊度。特別地，當$p=1$的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標，當$p=2$的時候稱為 Euclid 模糊度。

模糊測度(Fuzzy measures)

${\mathfrak {B}}$是輿集$\mathrm {X}$的一種。

用$g$函數定義${\mathfrak {B}}$，包含下列3項特性稱為模糊測度:

①$g(0)=0,g(\mathrm {X} )=1$

---$g$函數代0值，表示沒有值為空值，用數學0來表示。$g$函數代$X$表示輿集全部帶進去了塞滿了，用1表示塞滿。

②若$A,B\in {\mathfrak {B}}$和$A\subseteq B$, 則$g(A)\leq g(B)$.

---$A,B$是屬於${\mathfrak {B}}$的一部分，$A$在$B$裏面也可能跟$B$一樣大，則$g(A)\leq g(B)$

③If $A_{n}$∈${\mathfrak {B}}$, $A_{1}$⊆$A_{2}$⊆…,then $\lim _{n\to \infty }g(A_{n})=g(\lim _{n\to \infty }A_{n})$

---當$A_{n}$屬於${\mathfrak {B}}$同時$A_{1}$包含於$A_{2}\subseteq \ldots$，則將$A_{n}$代入$g$函數趨小所得的值等同於先趨小$A_{n}$再代入$g$函數所求得的值。

模糊集的運算

各種算子

• Zadeh 算子，$\max$即為並，$\min$即為交

${\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}$

• 代數算子（概率和、代數積）

${\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}$

• 有界算子

${\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}$

• Einstein 算子

${\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}$

• Hamacher 算子，其中$\nu \in [0,+\infty )$是參數，等於1時轉化為代數算子，等於2時轉化為 Einstein 算子

${\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}$

• Yager 算子，其中$p$是參數，等於1時轉化為有界算子，趨於無窮時轉化為 Zadeh 算子

${\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}$

• $\lambda -\gamma$算子，其中$\lambda ,\gamma \in [0,1]$是參數

${\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{1-\gamma }(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}$

• Dobois-Prade 算子，其中$\lambda \in [0,1]$是參數

${\begin{aligned}a\vee _{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge _{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}$

算子的性質

參見集合代數和布爾代數。

主要算子的性質對比表如下（.表示不滿足，-表示未驗證）：

算子	結合律	交換律	分配律	互補律	同一律	冪等律	支配律	吸收律	雙重否定律	德·摩根律
Zedah	√	√	√	.	√	√	√	√	√	√
代數	√	√	.	.	√	.	√	.	-	√
有界	√	√	.	√	√	.	√	√	-	√

線性補償是指：$(\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))$

算子的並運算	冪等律	排中律	分配律	結合律	線性補償
Zadeh	√	.	√	√	.
代數	.	.	.	√	.
有界	.	√	.	.	√
Hamacher r = 0	.	.	.	√	.
Yager	.	.	.	√	.
Hamacher	.	.	.	√	.
Dobois-Prade	.	.	.	√	.

模糊集之間的距離

使用度量理論

可以使用一般的度量理論來描述模糊集之間的距離。在這個意義上，我們需要在模糊冪集$F(U)$上建立一個度量，此外，我們還可能需要將此度量標準化，也即映射到$[0,1]$區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離：

${\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}$

貼近度

主條目：貼近度

另一種是使用貼近度概念。在某種意義上，貼近度就是 1 - 距離（這裏的距離是上述標準化意義上的距離）。而之所以應用這個變換，是考慮到「度」的概念的直覺反映——距離越近，貼近的程度顯然越「高」，因此它恰為距離的反數。

除了距離外，還有一些與模糊集的特殊操作有關係的貼近度定義。

• 最大最小貼近度

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}$

• 算術平均最小貼近度

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}$

• 幾何平均最小貼近度

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}$

• 指數貼近度

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}$

參見

• 粗集合
• 解模糊