模糊數學

模糊數學，亦稱弗晰數學或模糊性數學。1965年以後，在模糊集合、模糊邏輯的基礎上發展起來的模糊拓撲、模糊測度論等數學領域的統稱。是研究現實世界中許多界限不分明甚至是很模糊的問題的數學工具。在模式識別、人工智能等方面有廣泛的應用。

模糊集

定義和表示

給定一個論域 U ，那麼從 U 到單位區間 [0,1] 的一個映射 $\mu _{A}:U\mapsto [0,1]$ 稱為 U 上的一個模糊集 或 U 的一個模糊子集 ， 記為 A 。 映射（函數） μ_A(·) 或簡記為 A(·) 叫做模糊集 A 的隸屬函數。 對於每個 x ∈ U ， μ_A(x) 叫做元素 x 對模糊集 A 的隸屬度。

模糊集的常用表示法有下述幾種：

1. 解析法，也即給出隸屬函數的具體表達式。
2. Zadeh 記法，例如$A={1 \over x_{1}}+{0.5 \over x_{2}}+{0.72 \over x_{3}}+{0 \over x_{4}}$。分母是論域中的元素，分子是該元素對應的隸屬度。有時候，若隸屬度為0，該項可以忽略不寫。
3. 序偶法，例如$A=\{(x_{1},1),(x_{2},0.5),(x_{3},0.72),(x_{4},0)\}$，序偶對的前者是論域中的元素，後者是該元素對應的隸屬度。
4. 向量法，在有限論域的場合，給論域中元素規定一個表達的順序，那麼可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式，如 A = (1,0.5,0.72,0) 。

一些相關概念

• 模糊集 A 的承集或支集記為 ${\text{supp}}A=\{x\in U\mid A(x)\neq 0\}$。
• 模糊集 A 的核記為 ${\text{ker}}A=\{x\in U\mid A(x)=1\}$。
• 模糊集 A 的高度記為 ${\text{hgt}}A=\sup\{A(x)\mid x\in U\}$。
• 模糊集 A 的深度記為 ${\text{dpn}}A=\inf\{A(x)\mid x\in U\}$。

模糊度

一個模糊集 A 的模糊度衡量、反映了 A 的模糊程度，一個直觀的定義是這樣的：

設映射 D : F(U) → [0,1] 滿足下述5條性質：

1. 清晰性：D(A) = 0 若且唯若 A ∈ P(U)。（經典集的模糊度恆為0。）
2. 模糊性：D(A) = 1 若且唯若 ∀ u ∈ U 有 A(u) = 0.5。（隸屬度都為0.5的模糊集最模糊。）
3. 單調性：∀ u ∈ U，若 A(u) ≤ B(u) ≤ 0.5，或者 A(u) ≥ B(u) ≥ 0.5，則 D(A) ≤ D(B)。
4. 對稱性：∀ A ∈ F(U)，有 D(A^c) = D(A)。（補集的模糊度相等。）
5. 可加性：D(A∪B) + D(A∩B)=D(A) + D(B)。

則稱 D 是定義在 F(U) 上的模糊度函數，而 D(A) 為模糊集 A 的模糊度。

可以證明符合上述定義的模糊度是存在的，一個常用的公式（分別針對有限和無限論域）就是
${\begin{aligned}D_{p}(A)&={\frac {2}{n^{1/p}}}\left(\sum \limits _{i=1}^{n}\left|A(u_{i})-A_{0.5}(u_{i})\right|^{p}\right)^{1/p}\\D(A)&=\int _{-\infty }^{+\infty }|A(u)-A_{0.5}(u)|{\mbox{d}}u\end{aligned}}$
其中 p > 0 是參數，稱為 Minkowski 模糊度。特別地，當 p = 1 的時候稱為 Hamming 模糊度或 Kaufmann 模糊指標，當 p = 2 的時候稱為 Euclid 模糊度。

模糊集的運算

各種算子

• Zadeh 算子，max 即為並，min 即為交

${\begin{aligned}a\vee b&=\max\{a,b\}\\a\wedge b&=\min\{a,b\}\end{aligned}}$

• 代數算子（概率和、代數積）

${\begin{aligned}a{\stackrel {\wedge }{+}}b&=a+b-ab\\a\cdot b&=ab\end{aligned}}$

• 有界算子

${\begin{aligned}a\oplus b&=\min\{1,a+b\}\\a\odot b&=\max\{0,a+b-1\}\end{aligned}}$

• Einstein 算子

${\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\epsilon }}b&={\frac {a+b}{1+ab}}\\a{\stackrel {\cdot }{\epsilon }}b&={\frac {ab}{1+(1-a)(1-b)}}\end{aligned}}$

• Hamacher 算子，其中ν ∈ [0,+∞) 是參數，等於1時轉化為代數算子，等於2時轉化為 Einstein 算子

${\begin{aligned}a{\stackrel {+}{\nu }}b&={\frac {a+b-ab-(1-\nu )ab}{\nu +(1-\nu )(1-ab)}}\\a{\stackrel {\cdot }{\nu }}b&={\frac {ab}{\nu +(1-\nu )(a+b-ab)}}\end{aligned}}$

• Yager 算子，其中 p 是參數，等於1時轉化為有界算子，趨於無窮時轉化為 Zadeh 算子

${\begin{aligned}a\;Y_{p}\;b&=\min\{1,(a^{p}+b^{p})^{1/p}\}\\a\;y_{p}\;b&=1-\min\{1,[(1-a)^{p}+(1-b)^{p}]^{1/p}\}\end{aligned}}$

• λ-γ 算子，其中 λ,γ ∈ [0,1] 是參數

${\begin{aligned}a\;\lambda \;b&=\lambda ab+(1-\lambda )(a+b-ab)\\a\;\gamma \;b&=(ab)^{1-\gamma }(a-ab)^{\gamma }\end{aligned}}$

• Dobois-Prade 算子，其中 λ ∈ [0,1] 是參數

${\begin{aligned}a\vee _{d}b&={\frac {a+b-ab-\min\{(1-\lambda ),a,b\}}{\max\{\lambda ,1-a,1-b\}}}\\a\wedge _{d}b&={\frac {ab}{\max\{\lambda ,a,b\}}}\end{aligned}}$

算子的性質

參見集合代數和布爾代數。

主要算子的性質對比表如下（.表示不滿足，-表示未驗證）：

算子	結合律	交換律	分配律	互補律	同一律	冪等律	支配律	吸收律	雙重否定律	德·摩根律
Zedah	√	√	√	.	√	√	√	√	√	√
代數	√	√	.	.	√	.	√	.	-	√
有界	√	√	.	√	√	.	√	√	-	√

線性補償是指： $(\forall x,y,k\in [0,1])(x+k\wedge y-k\ \Rightarrow \ U(x+k,y-k)=U(x,y))$

算子的並運算	冪等律	排中律	分配律	結合律	線性補償
Zadeh	√	.	√	√	.
代數	.	.	.	√	.
有界	.	√	.	.	√
Hamacher r = 0	.	.	.	√	.
Yager	.	.	.	√	.
Hamacher	.	.	.	√	.
Dobois-Prade	.	.	.	√	.

模糊集與經典集的關係

截集與截積

設 $A\in {\mathcal {F}}(U)$，任取 $\lambda \in [0,1]$，則

$A_{\lambda }=\{u\in U\mid A(u)\geq \lambda \}$，

稱 A_λ 為 A 的 λ 截集，而 λ 稱為閾值或置信水平。將上式中的 ≥ 替換為 >，記為 A_Sλ，稱為強截集。

截集和強截集都是經典集合。此外，顯然 A₁ 為 A 的核，即 kerA；如果 kerA ≠ ø，則稱 A 為正規模糊集，否則稱為非正規模糊集。

截積是數與模糊集的積：
設 λ ∈ [0,1]，A ∈ F(U)，則 ∀ u∈U，λ 與 A 的截積（或稱為 λ 截集的數乘，記為 λA）定義為：

$(\lambda A)(u)=\lambda \wedge A(u)={\begin{cases}A(u),&\lambda \geq A(u),\\\lambda ,&\lambda <A(u).\end{cases}}$

根據定義，截積仍是 U 上的模糊集合。

分解定理與表現定理

分解定理：
設 A∈F(U)，則

$A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda A_{\lambda }$

即任一模糊集 A 都可以表達為一族簡單模糊集 {λA_λ} 的並。也即，一個模糊集可以由其自身分解出的集合套而「拼成」。

表現定理：
設 H 為 U 上的任何一個集合套，則

$A=\bigcup \limits _{\lambda \in [0,1]}\lambda H(\lambda )$

是 U 上的一個模糊集，且 ∀ λ ∈ [0,1]，有
（1） A_Sλ = ∪_α>λ H(α)
（2） A_λ = ∩_α<λ H(α)
即任一集合套都能拼成一個模糊集。

模糊集之間的距離

使用度量理論

可以使用一般的度量理論來描述模糊集之間的距離。在這個意義上，我們需要在模糊冪集 F(U) 上建立一個度量，此外，我們還可能需要將此度量標準化，也即映射到 [0,1] 區間上。例如可以這樣來標準化 Minkowski 距離：

${\tilde {d}}(x,y)=\left({1 \over n}\sum \limits _{i=1}^{n}\left|x_{i}-y_{i}\right|^{p}\right)^{1 \over p}$

貼近度

主條目：貼近度

另一種是使用貼近度概念。在某種意義上，貼近度就是 1 - 距離（這裏的距離是上述標準化意義上的距離）。而之所以應用這個變換，是考慮到「度」的概念的直覺反映——距離越近，貼近的程度顯然越「高」，因此它恰為距離的反數。

除了距離外，還有一些與模糊集的特殊操作有關係的貼近度定義。

• 最大最小貼近度

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\vee B(u_{i}))}}$

• 算術平均最小貼近度

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{{1 \over 2}\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})+B(u_{i}))}}$

• 幾何平均最小貼近度

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {\sum _{i=1}^{n}(A(u_{i})\wedge B(u_{i}))}{\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {A(u_{i})\cdot B(u_{i})}}}}$

• 指數貼近度

$\displaystyle \sigma (A,B)={\frac {1}{e^{\|A-B\|}}}$

模糊關係

主條目：模糊聚類分析

模糊關係是建立在模糊集上的關係，此外，它也有一些特別的性質和應用。

定義

設 U 和 V 是論域，U × V = {(x , y) | x ∈ U, y ∈ V } 是 U 和 V 的笛卡爾直積，則每個模糊子集 R ∈ U × V 都稱為從 U 到 V 的一個模糊關係。若 U = V，則稱 R 是 U 中的模糊關係。如果 R(x,y) = α，則稱 x 與 y 具有關係 R 的程度為 α。特別地：

• 若 ∀ (x,y) ∈ U × U，當 x = y 時 R = 1，當 x ≠ y 時 R = 0，則稱 R 為 U 上的恆等關係，記為 I
• 若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 0，則稱 R 為從 U 到 V 的零關係，記為 0
• 若 ∀ (x,y) ∈ U × V，有 R(x,y) = 1，則稱 R 為從 U 到 V 的全稱關係，記為 E

模糊關係的並、交、補、包含、相等、λ 截和截積運算，實質上就是模糊集的相應運算（採用 Zadeh 算子）。但模糊關係還有一個特殊的運算轉置，定義為

R^T(x,y) = R(y,x)

易知轉置運算滿足復原律、交換律和單調性等。

關係以及關係的合成的矩陣表達

關係的合成：
對於從 U ^x-m 到 V ^y-p 的關係 R，以及從 V ^y-p 到 W ^z-n 的關係 S，那麼從 U 到 W 的模糊複合關係 R · S 為

$\displaystyle (R\circ S)(x_{i},z_{j})=\bigvee _{k\leq p}[R(x_{i},y_{k})\wedge S(y_{k},z_{j})]$

其中 ∧ 是取小 ∨ 是取大（即 Zedah 算子）。由此可知，模糊複合關係的運算，就是兩個模糊關係的矩陣的乘法運算，只是要將矩陣乘法中的乘法改為 ∧，而加法改為 ∨ 即可。

例子：設 U = {1,2,3,4}, V = {a,b,c}, W = {α,β}：

從 U 到 V 的模糊關係 R (1,a)=0.7, (1,b)=0.5, (1,c)=0 (2,a)=1, (2,b)=0, (2,c)=0 (3,a)=0, (3,b)=1, (3,c)=0 (4,a)=0, (4,b)=0.4, (4,c)=0.3

從 V 到 W 的模糊關係 S (a,α)=0,6 (a,β)=0.8 (b,α)=0 (b,β)=1 (c,α)=0 (c,β)=0.9

那麼這些模糊關係可以寫成如下矩陣表達（注意行列位置）：

R a b c 1 0.7 0.5 0 2 1 0 0 3 0 1 0 4 0 0.4 0.3

S α β a 0.6 0.8 b 0 1 c 0 0.9

R · S α β 1 0.6 0.7 2 0.6 0.8 3 0 1 4 0 0.4

模糊關係與分類

模糊等價關係定義：
設 U 中的模糊關係 R 滿足

1. 自反性

∀ x ∈ U, R(x , x) = 1

2. 對稱性

∀ x, y ∈ U, R(x , y) = R(y , x)

3. 傳遞性

∀ x, y, z ∈ U, ∀ λ ∈ [0,1], 當 R(x , y) ≥ λ 且 R(y , z) ≥ λ 時，R(x , z) ≥ λ

則稱 R 為 U 中的一個模糊等價關係。易知，對於一個固定的 λ ∈ [0,1] 來說，傳遞性條件刻畫了模糊關係 R 具有 λ 水平上的傳遞性。

下述定理指出了模糊等價關係與普通等價關係的關係：U 中的模糊關係 R 是模糊等價關係的充要條件是，對於每個 λ ∈ [0,1]，R 的 λ 截關係 R_λ 是 U 中的普通等價關係。

只滿足自反性和對稱性，不滿足傳遞性的模糊關係稱為模糊相似關係。而將等價關係與相似關係聯繫在一起的是下述定理：U 中的模糊關係 R 是模糊傳遞關係的充要條件是 R² ⊆ R。

分類：

1. 如果模糊關係是等價關係，取某一水平的 λ 截集，即可得到這個水平上的分類。
2. 如果模糊關係是相似關係，計算 R^* ≡ R^{2^k} = R^{2^(k+1)}，則 R^* 可被證明是等價關係。