樊𰋀不等式

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樊畿不等式（英語：Ky Fan inequality）是華裔數學家樊畿發現的一個不等式。這個不等式的意義，在於因其與算幾不等式相似，從中可以推廣出很多結果。

敘述

樊𰋀不等式，用最簡單的形式可以表述為：

如果實數$x_{1},\ldots ,x_{n}\$都符合$0<x_{i}\leq {1 \over 2}$，那麼

${\frac {\left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}}{\left[\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i})\right]^{\frac {1}{n}}}}\leq {\frac {{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}{{1 \over n}\sum _{i=1}^{n}(1-x_{i})}}$，

等式成立當且僅當$x_{1}=\cdots =x_{n}$。

若分別記$x_{i}\;$的算術平均和幾何平均為$A_{n}\equiv {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}$，$G_{n}\equiv \left(\prod _{i=1}^{n}x_{i}\right)^{\frac {1}{n}}$；又記$1-x_{i}\;$的這兩種平均為$A_{n}^{\prime }\equiv {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(1-x_{i})$，$G_{n}^{\prime }\equiv \left[\prod _{i=1}^{n}(1-x_{i})\right]^{\frac {1}{n}}$，那麼不等式可寫作

${\frac {G_{n}}{G_{n}^{\prime }}}\leq {\frac {A_{n}}{A_{n}^{\prime }}}$。

如此可以看出它和算幾不等式$G_{n}\leq A_{n}$的相似處。

證明

利用函數$f(x)=\ln x-\ln(1-x)\;$在$0<x\leq {\frac {1}{2}}$的凹性，套用延森不等式，這樣得到一個簡單的證明。這證明可以直接推廣至不等式的加權形式：

${\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}^{\gamma _{i}}}{\prod _{i=1}^{n}\left(1-x_{i}\right)^{\gamma _{i}}}}\leq {\frac {\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}\left(1-x_{i}\right)}}$，

其中$\gamma _{i}\geq 0$，$\sum _{i=1}^{n}\gamma _{i}=1$。

相關不等式

如果記調和平均為$H_{n}:={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}$，$H_{n}^{\prime }:={\frac {1}{{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{1-x_{i}}}}}$，在W. Wang, P. Wang (1984)有如下推廣：

${\frac {H_{n}}{H_{n}^{\prime }}}\leq {\frac {G_{n}}{G_{n}^{\prime }}}\leq {\frac {A_{n}}{A_{n}^{\prime }}}$。

參考文獻

• Horst Alzer: Verschärfung einer Ungleichung von Ky Fan. Aequationes Mathematicae 36 (1988) 246-250.
• E. F. Beckenbach, R. Bellman: Inequalities. Springer-Verlag, Berlin 1983, 引用在 Alzer (1988).
• Edward Neuman, Jósef Sándor: On the Ky Fan inequality and related inequalities I. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 5, Number 1 (2002), 49–56.
• Edward Neuman, Jósef Sándor: On the Ky Fan inequality and related inequalities II （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. Bulletin of the Australian Mathematical Society. Volume 72, Number 1 (2005), 87-107.
• Jósef Sándor, Tiberiu Trif: A new refinement of the Ky Fan inequality. Mathematical Inequalities & Applications. Volume 2, Number 4 (1999), 529–533.
• W. Wang, P. Wang: A class of inequalities for the symmetric functions (中文) Acta Math. Sinica 27 (1984), 485-497, 引用在 Alzer (1988).