概週期函數
在數學中,概週期函數(或殆週期函數)是一類有近似於週期性質的函數,是連續週期函數的推廣。不同的週期函數由於週期不盡相同,其和、差或乘積不一定再是週期函數。概週期函數儘管未必有嚴格的週期性,但可擁有一些比週期函數更好的性質。這一概念首先於1925年被丹麥數學家哈那德·玻爾引進,後來赫曼·外爾、貝西科維奇等人也有研究和推廣[1]。貝西科維奇因概週期函數方面的貢獻獲得了1931年劍橋大學的亞當斯獎[2]。
定義
概週期函數有若干個等價定義。根據哈那德·玻爾引進的分析學上的定義,一個定義域在實數體上的連續函數 如果滿足:對任意正實數,都存在實數,使得任意長度為 的區間裏至少存在一個數,使得對於任意的,都有:
在高維歐幾里得空間中,也可以定義類似的概週期向量函數。
按照定義,所有週期函數都是概週期函數。
值域在復平面上的概週期函數與三角多項式函數有密切關係。哈那德·玻爾首先注意到這類型的函數是在研究有限項狄利克雷級數的時候。當把黎曼ζ函數:ζ(s) 截出有限項後,得到的是一些形如
的項。其中的。如果只考慮復平面上的一條豎直的直線(也就是說固定s 的實數部份,而實數 在正負無窮大之間變動),那麼實際上每一項變成:
如果只觀察有限個這樣的函數的和(以避免 時的解析開拓的問題),那麼由於對不同的n,是線性無關的,這個和不再是一個週期函數。
在相關研究中,哈那德·玻爾開始注意形如:
的三角多項式函數。它是若干個週期互不相同的週期函數的和。於是概週期函數的另一個定義出現了:如果對每個,都存在三角多項式函數:,使得對於任意的,都有:
可以證明,這個定義與第一個定義是等價的[1]。
例子
考慮若干三角多項式函數:
其中 是複數。每一個 都是週期函數,因此有限個 的和仍然是概週期函數。然而,對於某些和函數,比如說:
不是週期函數,但仍然是概週期函數。
性質
- 如同週期函數一樣,任何概週期函數都是有界的, 且均勻連續。
- 如果 是概週期函數,那麼對於任意實數,、、、 也是概週期函數。
- 如果 和 都是概週期函數,那麼、 和 都是概週期函數。
- 如果 是概週期函數,是 的值域到上的均勻連續函數, 則也是概週期函數。
- 如果概週期函數的序列在實軸上均勻收斂於函數 ,則 也是概週期函數。
- 如果 是概週期函數, 則 為概週期函數的充分必要條件是 的導函數 均勻連續。
- 如果 是概週期函數,,則 為概週期函數的充要條件為 有界[3][1]。
參看
參考書籍
- ^ 1.0 1.1 1.2 C. Corduneanu. Almost periodic functions. American Mathematical Society. 1989. ISBN 978-0-828-40331-3.
- ^ A.S. Besicovitch (1932), Almost periodic functions , Cambridge Univ. Press
- ^ 3.0 3.1 汪宏喜. 概周期函数及其主要性质 (PDF). 《工科數學》. 1997,. 第13卷第2期 [2010-03-18]. (原始內容 (PDF)存檔於2016-03-04).
- A.S. Besicovitch, "On generalized almost periodic functions" Proc. London Math. Soc. (2) , 25 (1926) pp. 495-512
- Bochner, S., Beitrage zur Theorie der fastperiodischen Funktionen, Math. Annalen, 1926, 96: 119–147, doi:10.1007/BF01209156
- H. Bohr, "Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen I" Acta Math., 45 (1925) pp. 29–127
- H. Bohr, "Almost-periodic functions" , Chelsea, reprint (1947)
- Bredikhina, E.A., A/a011970, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bredikhina, E.A., Besicovitch almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bredikhina, E.A., Bohr almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bredikhina, E.A., Stepanov almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- Bredikhina, E.A., Weyl almost periodic functions, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4