極點分離

極點分離（Pole splitting）是在放大器電路中進行頻率補償時，可能會出現的現象。若在放大器的輸入側和輸出側加上電容器，希望將最低頻率的極點（多半在輸入側）時，極點分離會使次低的極點頻率提高。此極點的移動會提昇放大器的穩定性，也會改善其階躍響應，但其速度會變慢。

舉例

圖1：在輸入和輸出之間有補償電容器C_C的運算放大器。運算放大器有輸入阻抗R_i和輸出阻抗R_o

圖2：用密勒定理轉換後的電路，將輔償電容轉換為輸入側的密勒電容，以及輸出側隨頻率變化的電流源

這些例子可以看出在圖1的運算放大器中加入電容器C_C，有兩個目的：使得放大器最低頻的極點頻率再降低，並且將次低頻率的極點頻率提高。圖1的放大器其低頻的極點是因為加入的輸入阻抗R_i以及電容C_i，其時間常數是C_i ( R_A || R_i )。因為密勒定理的緣故，此極點的頻率會降低。此放大器有一個頻率較高的極點，是因為負載電阻R_L和電容C_L，其時間常數是C_L ( R_o || R_L )。此極點的頻率會因為密勒放大的補償電容器C_C影響了輸出電壓分壓器的頻率相依關係，因此頻率會提高。

第一個目的，也就是將最低頻率極點的頻率調低，可以用類似密勒效應條目中的作法。依照密勒定理中所述的程序，圖1的電路可以轉換為圖2的電路，兩者在電氣上是等效的。將基爾霍夫電路定律應用在圖2的輸入側，可以找到給理想運算放大器的電壓是信號電壓$\ v_{a}$的函數

${\frac {v_{i}}{v_{a}}}={\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}{\frac {1}{1+j\omega (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\ ,$

其滾降從頻率f₁開始

${\begin{aligned}f_{1}&={\frac {1}{2\pi (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\\&={\frac {1}{2\pi \tau _{1}}}\ ,\\\end{aligned}}$

其中的$\tau _{1}$是最低極點的時間常數，比原始的時間常數要低，原始的時間常數對應C_C = 0 F時，是${\frac {1}{2\pi C_{i}(R_{A}\|R_{i})}}$。

若考慮第二個目的，讓較高頻率的極點頻率再往上增加，需要看電路的輸出側，輸出側為整體增益增加了第二個因子，也有額外的頻率相依性，電壓$\ v_{o}$是由理想放大器的增益決定的

$\ v_{o}=A_{v}v_{i}\ .$

利用這個關係，再在輸出側應用基爾霍夫電路定律，可以得到負載電壓$v_{\ell }$相對於運算放大器輸入電壓$\ v_{i}$的函數：

${\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}=A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\,\!$$\cdot {\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\ .$

這個運算式可以結合輸入側電路的增益，得到整體增益是

${\frac {v_{\ell }}{v_{a}}}={\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}{\frac {v_{i}}{v_{a}}}$

$=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\,\!$$\cdot {\frac {1}{1+j\omega (C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})}}\,\!$$\cdot {\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\ .$

增益公式中是一個單純的二階響應，有二個時間常數（其中也有一個零點，假設放大器增益A_v很大的話，此零點只有在很高頻率才需要考慮，目前的討論可以假設分子是1）。不過，雖然放大器看似二極的行為，但這二個時間常數比上述的要複雜，因為密勒電容中有藏着一個頻率相依性，在較高頻時就需要考慮。假設輸出R-C乘積C_L ( R_o || R_L )，對應一個比低頻極點頻率要高很多的頻率。那麼密勒電容的值就不能用密勒近似的公式，需要用精確值。根據密勒定理，密勒電容為

${\begin{aligned}C_{M}&=C_{C}\left(1-{\frac {v_{\ell }}{v_{i}}}\right)\\&=C_{C}\left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}{\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\right)\ .\\\end{aligned}}$

（針對一個正的密勒電容，A_v為負值）。將此結果代入增益公式中，增益可以改寫如下：

${\frac {v_{\ell }}{v_{a}}}=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}{\frac {1+j\omega C_{C}R_{o}/A_{v}}{D_{\omega }}}\ ,$

其中D_ω是ω的二次式：

$D_{\omega }\,\!$ $=[1+j\omega (C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\,\!$ $\cdot \ [1+j\omega C_{i}(R_{A}\|R_{i})]\,\!$ $\ +j\omega C_{C}(R_{A}\|R_{i})\,\!$ $\cdot \left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{O}}}\right)\,\!$ $\ +(j\omega )^{2}C_{C}C_{L}(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})\ .$

上述的二次式可以改寫如下：

$\ D_{\omega }=(1+j\omega {\tau }_{1})(1+j\omega {\tau }_{2})$

$=1+j\omega ({\tau }_{1}+{\tau }_{2}))+(j\omega )^{2}\tau _{1}\tau _{2}\ ,\$

其中$\tau _{1}$ and $\tau _{2}$是D_ω公式中結合了電阻和電容的值。。可以對應放大器二個極點的時間常數。其中一個是比較大，假設$\tau _{1}$是較大的時間常數，對應最低的極點，另外再假設$\tau _{1}$ >> $\tau _{2}$（若要有良好的階躍響應，會需要$\tau _{1}$ >> $\tau _{2}$，可以看以下的如何選擇C_C章節）

在放大器最低極點還低的頻段，ω的線性項比二次項影響更大，因此D_ω的低頻特性為：

${\begin{aligned}\ D_{\omega }&=1+j\omega [(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]\\&=1+j\omega (\tau _{1}+\tau _{2})\approx 1+j\omega \tau _{1}\ ,\ \\\end{aligned}}$

其中的C_M會用密勒效應重新定義為

$C_{M}=C_{C}\left(1-A_{v}{\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\right)\ ,$

就是之前低頻計算的密勒電容。以此基礎下，假設$\tau _{1}$ >> $\tau _{2}$，可以確定$\tau _{1}$。因為C_M很大，時間常數${\tau }_{1}$遠大於其原始值C_i ( R_A || R_i ).

在高頻時平方項影響較小，假設上述有關$\tau _{1}$ 的結果有效，對應較高頻率的第二個時間常數，可以由D_ω的二次項求得，為

$\tau _{2}={\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}}}\approx {\frac {\tau _{1}\tau _{2}}{\tau _{1}+\tau _{2}}}\ .$

將平方項系數的公式代到$\tau _{1}\tau _{2}$，再加上 $\tau _{1}$的估計值，可以得到第二個極點的估計位置：

${\begin{aligned}\tau _{2}&={\frac {(C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C})(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})}{(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})}}\\&\approx {\frac {C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C}}{C_{M}}}(R_{O}\|R_{L})\ ,\\\end{aligned}}$

因為C_M很大，$\tau _{2}$會比原來的值C_L ( R_o || R_L )要小，也就是說，較高頻率的極點其頻率會因為C_C而提高.。

簡單來說，導入C_C降低低頻極點，提高高頻極點。因此符合「極點分離」字面上的意思。

如何選擇C_C

圖3：二極點放大器設計的理想波德圖。第一個極點在f₁，增益以20 dB / decade的斜率下降，第二點極點在f₂'，增益以40 dB / decade的斜率下降

在一般的應用中，傳統放大器設計（稱為「主極點」或「單極點補償」）會要求放大器增益在轉角頻率處以20 dB/decade的斜率下降，降到0 dB增益，甚至更低 。在此設計下，放大器會穩定，而且有近乎最佳的階躍響應，類似增益為1的電壓緩衝器。而二極點補償是更冒險的作法。

在設計中選擇f₂的方式如圖3所示。在最低極點f₁處，波德增益圖開始以20 dB/decade的斜率下降。其目的是要維持20 dB/decade的下降斜率，一直到0dB為止，並且取20 log₁₀ A_v增益（以dB）表示的下降量，除以希望的頻率變化（在log頻率尺度上），( log₁₀ f₂  − log₁₀ f₁ ) = log₁₀ ( f₂ / f₁ ），就是這段的斜率

斜率 $=20{\frac {\mathrm {log_{10}} (A_{v})}{\mathrm {log_{10}} (f_{2}/f_{1})}}\ ,$

若f₂ = A_v f₁，上述的值會是是20 dB/decade。若f₂沒有這麼大，波德圖的第二個轉折會發生在增益降到0 dB之前，這會讓穩定性變差，而且階躍響應也會不好。

圖3也說明了正確的增益和頻率的關係，第二個極點至少要是第一個極點的A_v倍。此增益會因為放大器輸入和輸出的電壓分配定則而減少一點，因此要修正輸入和輸出電壓分配下的A_v，使用良好階躍響應下的「極點—比例條件」（pole-ratio condition）可得：

${\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}\approx A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,$

圖4：用Microsoft Excel繪出低頻率C_M的密勒電容C_M（上方）以及補償電容C_C（下方） 和增益的函數關係，電容的單位是pF

利用上述時間常數的近似，可以得到

${\frac {\tau _{1}}{\tau _{2}}}\approx {\frac {(\tau _{1}+\tau _{2})^{2}}{\tau _{1}\tau _{2}}}\approx A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,$

或

${\frac {[(C_{M}+C_{i})(R_{A}\|R_{i})+(C_{L}+C_{C})(R_{o}\|R_{L})]^{2}}{(C_{C}C_{L}+C_{L}C_{i}+C_{i}C_{C})(R_{A}\|R_{i})(R_{O}\|R_{L})}}\,\!$ ${\color {White}\cdot }=A_{v}{\frac {R_{i}}{R_{i}+R_{A}}}\cdot {\frac {R_{L}}{R_{L}+R_{o}}}\ ,$

這是一個可以求得C_C近似值的二次式。圖4是此式的圖形。在低增益時放大器在沒有補償時就滿足極點－增益條件（在圖中低增益時的補償電容器C_C很小），但增益增加時，因為需要的極點增益快速上昇，補償電容器就越來越重要（在圖4時，補償電容器隨頻率迅速的增加）。若增益更大時，因為C_C的密勒放大作用，會隨着增益而增加（可以參考密勒方程式），因此必要的C_C會隨着增益增加而減少。

若考慮設計的不確定性，保留較多的安全預度，A_v會設計成等式右邊A_v值的兩倍或三倍。可以參考Sansen或Huijsing的參考資料

迴轉率

上述都是小信號分析。不過若用在大信號時，因為補償電容器需要充電和放電，會對放大器的迴轉率有不良的影響。而且因為需要為C_C充電，會限制斜坡函數輸入下的響應。

相關條目

• 頻率補償
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