普拉托問題

普拉托問題（英語：Plateau's problem）是數學中與極小曲面有關的一類問題，旨在研究在邊界固定時極小表面的存在性。此問題最早由18世紀的法國數學家拉格朗日在1760年提出。而之後比利時人約瑟夫·普拉托在19世紀進行了大量關於皂液膜（肥皂泡）的實驗，並總結出了一些與極小曲面以及此問題有關的定律（普拉托定律）。普拉托問題是變分法研究的一個分支。普拉托問題中的極小曲面的存在性以及其正則性（是否可微，是否光滑等等）是幾何測度理論的研究對象。 數學家們首先從解決普拉托問題的各種約束下的特殊情況開始。1930年，傑西·道格拉斯和蒂波·拉多得到了在映照（浸入）參照下的一般解。兩人的方法有很大差別。拉多的方法建立在加尼爾的工作上，只能證明邊界為可求長的簡單閉曲線的情況。道格拉斯則運用了全新的思路，對任意的簡單閉曲線都適用。兩人的方法都包括了求解最小值問題，不同之處為道格拉斯最小化的對象是現在稱為「道格拉斯積分」的積分式，而拉多最小化的對象是類似於保守場的「能量」。道格拉斯因這方面的工作獲得了1936年的菲爾茲獎.

更高維度空間中的普拉托問題（關於n維歐幾里得空間$\mathbb {R} ^{n}$中的k維曲面上極小曲面的問題）比三維空間中曲面的普拉托問題更為困難。不僅如此，與三維空間中曲面的普拉托問題的解總是正則的特性不同，研究發現擴展到高維空間中的普拉托問題的解在 k ≤ n − 2 可能出現不規則的奇點。當曲面是超平面的時候（即曲面維度 k = n − 1 的時候），則只在空間維度 n ≥ 8 的時候解會出現不規則的奇點。

參見

• 狄利克雷原理
• 普拉托定律
• 伸展網格方法
• 等周定理
• 掛谷集合
• 移動沙發問題

參考來源

• Douglas, Jesse. Solution of the problem of Plateau. Trans. Amer. Math. Soc. (Transactions of the American Mathematical Society, Vol. 33, No. 1). 1931, 33 (1): 263–321. JSTOR 1989472. doi:10.2307/1989472. 
• Fomenko, A.T. The Plateau Problem: Historical Survey. Williston, VT: Gordon & Breach. 1989. ISBN 978-2881247002. 
• Morgan, Frank. Geometric Measure Theory: a Beginner's Guide. Academic Press. 2009. ISBN 978-0-12-374444-9. 
• O'Neil, T.C., Geometric Measure Theory, Hazewinkel, Michiel (編), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Radó, Tibor. On Plateau's problem. Ann. Of Math. (2) (The Annals of Mathematics, Vol. 31, No. 3). 1930, 31 (3): 457–469. JSTOR 1968237. doi:10.2307/1968237. 
• Struwe, Michael. Plateau's Problem and the Calculus of Variations. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1989. ISBN 978-0691085104.