散佈矩陣

[多元變量統計]]和概率論中，散佈矩陣是一種統計量，用於估計協方差矩陣，例如多元正態分佈的協方差矩陣。

定義

給定m維數據的n個樣本，寫作m×n矩陣$X=[\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{n}]$，則樣本均值為

${\overline {\mathbf {x} }}={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}\mathbf {x} _{j}$

其中$\mathbf {x} _{j}$是$X$的第j列。

散佈矩陣是m×m正半定矩陣

$S=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})^{T}=\sum _{j=1}^{n}(\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})\otimes (\mathbf {x} _{j}-{\overline {\mathbf {x} }})=\left(\sum _{j=1}^{n}\mathbf {x} _{j}\mathbf {x} _{j}^{T}\right)-n{\overline {\mathbf {x} }}{\overline {\mathbf {x} }}^{T}$

其中$(\cdot )^{T}$表示矩陣轉置，乘法為外積。散佈矩陣可更簡潔地表為

$S=X\,C_{n}\,X^{T}$

其中$\,C_{n}$是n×n中心化矩陣。

應用

給定n個樣本的多元正態分佈協方差矩陣的最大似然估計值可表為歸一化散佈矩陣

$C_{ML}={\frac {1}{n}}S.$

當$X$的列從多元正態分佈中獨立採樣時，$S$遵循威沙特分佈。

另見

• 威沙特分佈
• 外積—$XX^{\top }$或X⊗X是X與自身的外積。
• 格拉姆矩陣