拉普拉斯展開

在數學中，拉普拉斯展開（英語：Laplace expansion，或稱拉普拉斯公式）是一個關於行列式的展開式。將一個$n\times n$矩陣$B$的行列式進行拉普拉斯展開，即是將其表示成關於矩陣$B$的某一行（或某一列）的$n$個元素的$(n-1)\times (n-1)$餘子式的和。行列式的拉普拉斯展開一般被簡稱為行列式按某一行（或按某一列）的展開。由於矩陣$B$有$n$行$n$列，它的拉普拉斯展開一共有$2n$種。拉普拉斯展開的推廣稱為拉普拉斯定理，是將一行的元素推廣為關於$k$行的一切子式。它們的每一項和對應的代數餘子式的乘積之和仍然是$B$的行列式。研究一些特定的展開可以減少對於矩陣$B$之行列式的計算，拉普拉斯公式也常用於一些抽象的推導中。

公式

設B = (b_ij)是一個n × n矩陣。B關於第i行第j列的餘子式M_ij是指B中去掉第i行第j列後得到的n−1階子矩陣的行列式。有時可以簡稱為B的（i，j）餘子式。B的（i，j）代數餘子式：C_ij是指B的（i，j）餘子式M_ij與(−1)^{i + j}的乘積：C_ij = (−1)^{i + j} M_ij

拉普拉斯展開最初由范德蒙德給出，為如下公式：對於任意i,j ∈ {1, 2, ...,n}：

${\begin{aligned}|B|&{}=b_{i1}C_{i1}+b_{i2}C_{i2}+\cdots +b_{in}C_{in}\\&{}=b_{1j}C_{1j}+b_{2j}C_{2j}+\cdots +b_{nj}C_{nj}\end{aligned}}$

例子

考慮以下的矩陣：

$B={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}$。

這個矩陣的行列式可以用沿着第一行的拉普拉斯展開式來計算：

$|B|=1\cdot {\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}}-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+3\cdot {\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}}$

${}=1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0$。

也可以用沿着第二列的拉普拉斯展開式來計算：

$|B|=-2\cdot {\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}}+5\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\7&9\end{vmatrix}}-8\cdot {\begin{vmatrix}1&3\\4&6\end{vmatrix}}$

${}=-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0$。

很容易看到這個結果是正確的：這個矩陣是奇異的，因為它的第一列和第三列的和與第二列成比例，因此它的行列式是零。

證明

設$B$是一個$n\times n$ 的矩陣，$i,j\in \{1,2,...,n\}$。為了明確起見，將$M_{ij}$的系數記為$(a_{st})$，其中$1\leq s,t\leq n-1$.

考慮$B$的行列式$|B|$中的每個含有$b_{ij}$的項，它的形式為：

$\operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{i,j}\cdots b_{n,\tau (n)}=\operatorname {sgn} \tau \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}$

其中的置換$\tau \in S_{n}$使得$\tau (i)=j$，而$\sigma \in S_{n-1}$是唯一的將除了$i$以外的其他元素都映射到與$\tau$相同的像上去的置換。顯然，每個$\tau$都對應着唯一的$\sigma$，每一個$\sigma$也對應着唯一的$\tau$。因此我們創建了S_n − 1與{τ ∈ S_n : τ(i) = j}之間的一個對射。置換τ可以經過如下方式從σ得到：

定義σ' ∈ S_n使得對於1 ≤ k ≤ n − 1，σ'(k) = σ(k)並且σ'(n) = n，於是sgn σ' = sgn σ。然後

$\tau \,=(n,n-1,\ldots ,i)\,\sigma '\,(j,j+1,\ldots ,n)$。

由於兩個輪換分別可以被寫成n − i和n − j個對換，因此

$\operatorname {sgn} \tau \,=(-1)^{2n-(i+j)}\operatorname {sgn} \sigma '\,=(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma$。

因此映射σ ↔ τ是對射。由此，

$\sum _{\tau \in S_{n}:\tau (i)=j}$	$\operatorname {sgn} \tau \,b_{1,\tau (1)}\cdots b_{n,\tau (n)}$
	$=\sum _{\sigma \in S_{n-1}}(-1)^{i+j}\operatorname {sgn} \sigma \,b_{ij}a_{1,\sigma (1)}\cdots a_{n-1,\sigma (n-1)}$
	$=\ b_{ij}(-1)^{i+j}|M_{ij}|,$

從而拉普拉斯展開成立。

拉普拉斯定理

拉普拉斯在1772年的論文中給出了行列式展開的一般形式，現在稱為拉普拉斯定理。拉普拉斯定理建立在子式和餘子式的基礎上，說明了如果將B關於某k行的每一個子式和對應的代數餘子式的乘積加起來，那麼得到的仍然是B的行列式。定理的證明與按一行（一列）展開的情況一樣，都是通過建立置換間的對射來證明兩者相等。

參考來源

• 拉普拉斯定理
• 線性代數發展史
• 行列式的展開定理
• 戴立輝，線性代數，同濟大學出版社，2007.